קוד:נגזרת, דיפרנציאל ומשיק

נניח איש אחד נסע ממקום א' למקום ב' ונגדיר פונקציה $f(t) $ שעבור זמן $t$ נותנת את המיקום של האיש. המהירות הממוצעת שלו בין $t=a $ ל- $t=b $ מוגדרת להיות כמה התקדמם בזמן הזה חלקי כמה זמן עבר, כלומר $v=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $ . אבל זה נותן לנו את המהירות הממוצעת בקטע יחסית ארוך, מה קורה אם נרצה לדעת את המהירות בזמן ספציפי $t_0 $ ? נצטרך למצוא את המהירות הממוצעת בקטעים הולכים ומתהדקים סביב $t_0 $ (בהתחלה נבדוק את המהירות הממוצעת בין דקה לפני לדקה אחרי ואז את המהירות הממוצעת בין שנייה לפני לשנייה אחרי ואז את המהירות הממוצעת בין חצי שנייה לפני לחצי שנייה אחרי...) והגבול שלהם מוגדר להיות המהירות בזמן $t_0 $ . מאיך שניסחנו את זה אפשר להבין ש- $v(t_0)=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t_0+\Delta t) - f(t_0-\Delta t)}{(t_0+\Delta t)-(t_0-\Delta t)} $ או באופן שקול לחלוטין אפשר לבדוק את המהירות הממוצעת בקטעים שמתחילים ב- $t_0 $ ומסתיימים ב- $t_0+\Delta t $ ולהשאיף את $\Delta t $ ל-0 ולקבל הגדרה שקולה: $v(t_0)= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t_0+\Delta t) - f(t_0)}{\Delta t} = \lim_{t\to t_0} \frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0} $ , כל אלה נתנו הגדרות שקולות למושג מהירות נקודתית שזה כמו קצב השינוי במיקום ליחידת זמן מאוד קטנה. באופן כללי, רוב הפעמים אנחנו נתקל בפונקציות שההשתנות שלהן אינן קבועה, ולכן נוח להגדיר את המושג שמתאר את השינוי ליחידת "זמן", הנגזרת.

\begin{definition} נניח $f$ מוגדרת בסביבת $x_0 $ וקיים הגבול $\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $ אז הגבול הזה מוגדר להיות הנגזרת של $f$ בנקודה $x_0 $ ומסמנים $f'(x_0) $ או $\frac{df}{dx} (x_0) $ .

\end{definition}

דוגמה:

נגזרת של ישר $f(x)=mx+n $ בנקודה $a$ תהיה $\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a} \frac{mx+n-ma-n}{x-a} = m $ ללא תלות בנקודה $a$! $\\$ דוגמה:

$f(x)=\sin x \Rightarrow f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\sin\frac{\Delta x}{2} \cos(x+\frac{\Delta x}{2}) }{\Delta x}=\{\Delta x'=\frac{\Delta x}{2}\} = \lim_{\Delta x'\to 0} \frac{2\sin \Delta x' \cos (x+\Delta x')}{2\Delta x'} =\lim_{\Delta x'\to 0} 1\cdot \cos (x+\Delta x') = \cos (x)$ $\\$ דוגמה:

$f(x)=e^x \Rightarrow f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{e^{x+\Delta x} - e^x}{\Delta x} = e^x \lim_{\Delta x\to 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}= e^x \cdot 1 = e^x $ $\\$ \begin{definition} נשים לב ש- $\\$ $\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-k = 0 \Leftrightarrow \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0) - k (x-x_0)}{x-x_0} = 0$ נקבל אז ש- $f(x)-f(x_0)-k(x-x_0) = o(x-x_0)_{x\to x_0} $ ומכאן $f(x)=f(x_0)+k (x-x_0) + o(x-x_0)_{x\to x_0} $ . אם נחליף את המשתנים: $t=x-x_0 $ נקבל ש- $f(x_0+t)=f(x_0)+kt+o(t)_{t\to 0} $ . נגדיר את הפונקציה הלינארית $t\to kt $ בתור הדיפרנציאל של $f$ בנקודה $x_0 $, זאת אומרת $df_{x_0} (t) = kt $, אבל ה-$k$ היחיד שמתאים לפי ההגדרה זה $f'(x_0) $ ומכאן ש- $df_{x_0} (t) = f'(x_0) t $ , באופן כללי ניתן לרשום $\underset{\text{change in f}}{\underbrace{f(x_0+t)-f(x_0)}} = kt + o(t)_{t\to 0} $ . נגיד ש- $f$ דיפרנציאבילית ב- $x_0 $ אם קיימת פונקציה לינארית $df_{x_0} $ כך ש- $f(x_0+t)-f(x_0)=df_{x_0}(t)+o(t)_{t\to 0} $ . כל זה נראה מאוד מוזר ומיותר, ואכן אין לזה הרבה מאוד משמעות בפונקציות שנתקל בהן בקורס הזה, אך ההגדרות האלה חשובות ונדבר עליהם בהרחבה שנה הבאה בפונקציות בכמה משתנים. \end{definition}

\begin{definition} תהי $f$ פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה $x_0 $ אז הפונקציה $p(x)=f(x_0)+df_{x_0} (x-x_0) $ נקראת הישר המשיק לפונקציה $f$ בנקודה $x_0 $ (בעצם $f(x)=f(x_0)+df_{x_0} (x-x_0) + o(x-x_0)_{x\to x_0} $ אז "הזנחנו" את השגיאה ונשארנו עם ישר שמתנהג בערך כמו הפונקציה בסביבה קרובה של $x_0 $) \end{definition}