קוד:נגזרת של הרכבת פונקציות (כלל שרשרת)

\begin{thm} נניח $f:(a,b)\to (c,d) , g:(c,d)\to \mathbb{R} $ נסמן את $h=g\circ f $ כלומר $h(x)=g(f(x)) $ . אם $f$ דיפרנציאבילית ב- $x_0 $ ו- $g$ דיפרנציאבילית ב- $f(x_0) $ אזי $h$ דיפרנציאבילית ב- $x_0 $ ומתקיים: (הצורות שקולות)

$h'(x_0)=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0) $

$\frac{dh}{dx} (x_0) = \frac{dg}{df} (f(x_0))\cdot \frac{df}{dx} (x_0) $

\end{thm}

אם הכתיב האחרון נראה לכם מוזר ועושה לכם כאב ראש, אל תדאגו, זה בעיקר בשביל הפיזיקאים, אבל בכל מקרה הנה דוגמה:

אם נגדיר $g(u)=\sin u $ אבל $u(x)=x^2 $ אז הנגזרת של $h(x)=g(u(x))=\sin x^2 $ היא $\frac{dg}{du} (u(x))\cdot \frac{du}{dx} $ אבל $\frac{dg}{du}=\cos u $ ו- $\frac{du}{dx}=2x $ ולכן סך הכל נקבל $$\cos (u(x)) \cdot 2x = \cos (x^2) \cdot 2x $$

\begin{proof} ידוע ש-

$$f(x_0+t)=f(x_0)+f'(x_0) t + \epsilon_1(t)\cdot t $$ כש- $\epsilon_1(t)\underset{t\to 0}{\longrightarrow} 0 $ ובנוסף, $$g(y_0+s)=g(y_0)+g'(y_0) s + \epsilon_2(s)\cdot s$$ כש- $\epsilon_2(s) \underset{s\to 0} {\longrightarrow} 0$ . לכן:

$$h(x_0+t)=g((f(x_0+t))=g\left (f(x_0)+f'(x_0) t + \epsilon_1(t)\cdot t\right )=$$ $$g(f(x_0))+g'(f(x_0))(f'(x_0) t + \epsilon_1(t)\cdot t)+\epsilon_2 (f'(x_0) t + \epsilon_1 (t))\cdot (f'(x_0) t + \epsilon_1 (t))=$$ $$g(f(x_0))+g'(f(x_0))\cdot f'(x_0) \cdot t + o(t)_{t\to 0} \Rightarrow (g(f(x)))'(x_0)=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0) $$ \end{proof}

\begin{cor} הנגזרת של $x^\alpha $ היא $\alpha x^{\alpha - 1} $, גם אם $\alpha \not\in\mathbb{N} $

\end{cor}

\begin{proof} $$(x^\alpha)'=(e^{\alpha \ln x})'=(e^{\alpha \ln x})\cdot (\alpha \ln x)' = x^\alpha \cdot \alpha\cdot \frac{1}{x}=\alpha x^{\alpha - 1} $$ \end{proof}

\begin{example} $$(\cos x)'=\left(\sin (\frac{\pi}{2} - x)\right)'=\cos(\frac{\pi}{2}-x)\cdot (\frac{\pi}{2}-x)' = -\cos(\frac{\pi}{2}-x) = -\sin x $$ $\Leftarrow$ $$(\tan x)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{(\sin x)'\cos x - \sin x (\cos x)'}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)} $$ \end{example}