תנודות

תנודה היא שינוי במערכת הנמשך לאורך זמן. תנודות יכולות להיות מחזוריות בקירוב או כאוטיות. תנודות מתרחשות במערכות שונות כגון מטוטלת, גלים, מעגלי RLC ועוד. בניסוי זה נבחן תכונות מטוטלת הנשלטת על ידי כח מאלץ וריסון, ונכיר את תופעת התהודה ותהליכי מעבר.

רקע תיאורטי

תנודות הרמונית חופשיות

נתבונן בתנועת גוף של מסה m שעליו מופעל כוח אלסטי מחזיר (פרופורציוני להעתק x של הגוף מנקודת שיווי משקלו), נקבל לפי החוק השני של ניוטון:

[math]\displaystyle{ \ m \ddot{x} + k x = 0. }[/math]

זוהי משוואה דיפרנציאלית שפתרונה הוא:

[math]\displaystyle{ x(t) = A \cos (2 \pi f_0 t). \! }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ f_0 }[/math] הוא תדר התנועה במצב ההרמוני הפשוט.

תנודות מרוסנות

אם נוסף לכח המחזיר יפעל על הגוף כוח חיכוך הפרופורציוני למהירות, [math]\displaystyle{ \lambda v }[/math] .

לפי החוק השני של ניוטון מתקיים:

[math]\displaystyle{ m \ddot{x} + { \lambda } \dot{x} + {k } x = 0. }[/math]

פתרון המשוואה מתאר תנודות מרוסנות של הגוף, הינו:

[math]\displaystyle{ x(t) = A\exp (-\delta t)\cos ( \Omega t-\phi)) }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] הוא תדר התנודות העצמיות של המערכת השווה ל-[math]\displaystyle{ \Omega ^2 = \omega_0 ^2- \delta^2 }[/math], [math]\displaystyle{ \omega_0^2 = {k \over m} }[/math], ו- [math]\displaystyle{ \delta={\lambda \over 2m} }[/math] הנקרא גורם הריסון.

האמפליטודה A והפאזה [math]\displaystyle{ \phi }[/math] תלויים בתנאי התחלה של המערכת. משרעת התנודות הולכת וקטנה עם הזמן בהתאם לחוק [math]\displaystyle{ \exp (-\delta t) }[/math] ניתן לראות כי תדר התנודות העצמיות תלוי בכוח המרסן (ככל שהכוח המרסן יגדל, תדר התנודות העצמיות יקטן). עבור מטוטלת מתמטית [math]\displaystyle{ \omega_0^2= {g \over l} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \Omega ^2 = {g \over l} - \delta ^2 }[/math], במשרעות קטנות מחזור התנודות העצמיות של המטוטלת אינו תלוי במשרעת. עובדה זו גילה גלילאו הצעיר (1583) כאשר צפה בתנודות של נברשת תחת משבי רוח. מכוון שלא היו אז שעוני עצר הוא השווה את תדירות תנודות הנברשת עם תדירות הדופק שלו.

תנודות מאולצות

עתה נתבונן בתנועתו של אותו גוף תחת השפעה של כוח חיצוני מחזורי [math]\displaystyle{ F_0 \cos \omega t }[/math]. משוואת התנועה תהיה:

[math]\displaystyle{ m \ddot{x} + { \lambda } \dot{x} + {k } x = F_0 \cos \omega t }[/math]

פתרון כללי של משוואה כזאת הוא סכום הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה (כאשר צד ימין של המשוואה שווה לאפס) והפתרון הפרטי של המשוואה הלא הומוגנית הנתונה. את הפתרון של המשוואה ההומוגנית קיבלנו קודם – והוא מתאר תנודות עצמיות דועכות.

בפתרון של המשוואה הלא הומוגנית נצא מתוך הנחה שהתנודות מתקיימות בתדירות השווה לזאת של הכוח החיצוני. את הפתרון הפרטי של המשוואה הלא הומוגנית מנחשים בצורה של [math]\displaystyle{ x=B \sin (\omega t - \psi) }[/math]. כדי למצוא את הערכים של [math]\displaystyle{ B }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \psi }[/math] נציב את הביטוי הזה במשוואת התנועה ונקבל: [math]\displaystyle{ B={F_0 \over {\sqrt {m^2( \omega ^2 - \omega_0 ^2)^2+ \lambda^2 \omega^2}}} }[/math]

מכאן שהפתרון הכללי של המשוואה יהיה: [math]\displaystyle{ x(t)=A \exp (- \delta t) \cos (\Omega t - \phi)+B\sin(\omega t-\psi) }[/math]

ניתן לראות כי משרעת התנודות המרבית [math]\displaystyle{ B }[/math] תתקבל כאשר תדירות הכוח החיצוני קרובה לתדירות העצמית של המערכת. תופעה זו נקראת תהודה (resonance) והינה תופעה חשובה ביותר בפיסיקה ובטכנולוגיה. גודל משרעת התנודות במצב תהודה פרופורציוני הפוך לגורם הריסון - [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

תהליכי מעבר

בהשפעת כוח חיצוני מחזורי נוצרות בהתחלה גם תנודות חופשיות של המטוטלת, לכן התנודות המתקבלות הן סופרפוזיציה של התנודות החופשיות והמאולצות. אם תדירות הכוח החיצוני שווה לתדירות העצמית אז משרעת התנודות עולה בהתמדה עד שתגיע לגודל קבוע. במידה ותדירויות אלו שונות, סופרפוזיציה של התנודות החופשיות והמאולצות תביא לפעימות שמשרעתן תרד בהדרגה עד לאפס, כך שלבסוף משרעת התנודות נשארת קבועה. תדירות הפעימות היא ההפרש שבין תדירות הכח המאלץ, לבין תדירות התנודות העצמיות: [math]\displaystyle{ \omega_{beats} = |\Omega-\omega| }[/math] .

זמן המעבר מוגדר להיות פרק הזמן בו חלים השינויים בגודל משרעת התנודות, אם נגביר את גורם הדעיכה, זמן המעבר יקטן.