מעגל RLC: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה מ־10:57, 22 באוקטובר 2014

מעגל [math]\displaystyle{ RLC }[/math] מורכב מנגד [math]\displaystyle{ R }[/math], משרן [math]\displaystyle{ L }[/math] וקבל [math]\displaystyle{ C }[/math]. רכיבים אלו מחוברים בטור או במקביל ספק זרם או מתח. הזרם במעגלי [math]\displaystyle{ RLC }[/math] מתואר על ידי משוואה דפרנציאלית מסדר שני, ולכן יש הקוראים למעגלים אלו מעגלים מסדר שני. באלקטרוניקה משתמשים במעגלי [math]\displaystyle{ RLC }[/math] כמסננים המעבירים רוחבי פס מסוימים של אותות בגלל תופעת התהודה שבהם וכמנחיתי תדרים לא רצויים. אחד השימושים במעגל [math]\displaystyle{ RLC }[/math] הוא בתקשורת רדיו. בניסוי זה נבחן תנודות ותהליכי מעבר של הזרם במעגל, ונכיר את השימוש במעגל כמסנן באמצעות תהודה. ניסוי זה מקביל במהותו לתנודות המכניות במעבדה "תנודות".

רקע תיאורטי

תנודות חופשיות

איור 1 מתאר זרם המנודד בתנודות חופשיות בהנחה שהקבל טעון במטען [math]\displaystyle{ Q }[/math]. כאשר נסגור את המפסק [math]\displaystyle{ S }[/math] במעגל סכום המתחים במסלול סגור צריך להיות שווה לאפס- (לפי כלל המתחים של קירכהוף, Kirchhoff), ולכן נקבל:

[math]\displaystyle{ IR+U_C+Lֹ{dI \over dt}=0 }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ I }[/math] הוא הזרם במעגל, [math]\displaystyle{ U_C }[/math] הוא המתח על הקבל, ו- [math]\displaystyle{ -Lֹ{dI \over dt}=0 }[/math] הוא המתח הנוצר בסליל ההשראות בשל שינוי הזרם החשמלי דרכו.

נגזור את המשואה ואחרי חישוב הנגזרת נקבל:

[math]\displaystyle{ {{d^2I} \over dt^2}+{{RdI} \over {Ldt}}+{I \over {LC}}=0 }[/math]

זוהי משוואה דיפרנציאלית מסדר שני המתארת תנודות דועכות. ופתרונה:

[math]\displaystyle{ x(t) = A\exp (-\delta t)\cos ( \Omega t-\phi)) }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] הוא תדר התנודות העצמיות של המערכת השווה ל-[math]\displaystyle{ \Omega ^2 = \omega_0 ^2- \delta^2 }[/math], [math]\displaystyle{ \omega_0^2 = {k \over m} }[/math], ו- [math]\displaystyle{ \delta={\lambda \over 2m} }[/math] הנקרא גורם הריסון.

האמפליטודה A והפאזה [math]\displaystyle{ \phi }[/math] תלויים בתנאי התחלה של המערכת.

כאשר:  - גורם הריסון,  - תדירות התנודות. מתקיים:

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-מעגל <math>RLC</math> מורכב מנגד <math>R</math>, משרן <math>L</math> וקבל <math>C</math>. רכיבים אלו מחוברים בטור או במקביל ספק זרם או מתח. הזרם במעגלי <math>RLC</math> מתואר על ידי משוואה דפרנציאלית מסדר שני, ולכן יש הקוראים למעגלים אלו מעגלים מסדר שני. באלקטרוניקה משתמשים במעגלי <math>RLC</math> כמסננים המעבירים רוחבי פס מסוימים של אותות בגלל תופעת התהודה שבהם וכמנחיתי תדרים לא רצויים. אחד השימושים במעגל <math>RLC</math> הוא בתקשורת רדיו. בניסוי זה נבחן תנודות ותהליכי מעבר של הזרם במעגל, ונכיר את השימוש במעגל כמסנן באמצעות תהודה. החלק התיאורטי של ניסוי זה מקביל לתנודות המכניות במעבדה "[[תנודות]]".
+מעגל <math>RLC</math> מורכב מנגד <math>R</math>, משרן <math>L</math> וקבל <math>C</math>. רכיבים אלו מחוברים בטור או במקביל ספק זרם או מתח. הזרם במעגלי <math>RLC</math> מתואר על ידי משוואה דפרנציאלית מסדר שני, ולכן יש הקוראים למעגלים אלו מעגלים מסדר שני. באלקטרוניקה משתמשים במעגלי <math>RLC</math> כמסננים המעבירים רוחבי פס מסוימים של אותות בגלל תופעת התהודה שבהם וכמנחיתי תדרים לא רצויים. אחד השימושים במעגל <math>RLC</math> הוא בתקשורת רדיו. בניסוי זה נבחן תנודות ותהליכי מעבר של הזרם במעגל, ונכיר את השימוש במעגל כמסנן באמצעות תהודה. ניסוי זה מקביל במהותו לתנודות המכניות במעבדה "[[תנודות]]".
+==רקע תיאורטי==
+===תנודות חופשיות===
+איור 1 מתאר זרם המנודד בתנודות חופשיות בהנחה שהקבל טעון במטען <math>Q</math>. כאשר נסגור את המפסק <math>S</math>  במעגל סכום המתחים במסלול סגור צריך להיות שווה לאפס- (לפי כלל המתחים של קירכהוף, Kirchhoff), ולכן נקבל:
+<math>IR+U_C+Lֹ{dI \over dt}=0</math>
+כאשר <math>I</math> הוא הזרם במעגל, <math>U_C</math> הוא המתח על הקבל, ו-
+<math>-Lֹ{dI \over dt}=0</math>
+הוא המתח הנוצר בסליל ההשראות בשל שינוי הזרם החשמלי דרכו.
+נגזור את המשואה ואחרי חישוב הנגזרת נקבל:
+<math>{{d^2I} \over dt^2}+{{RdI} \over {Ldt}}+{I \over {LC}}=0</math>
+זוהי משוואה דיפרנציאלית מסדר שני המתארת תנודות דועכות. ופתרונה:
+<math>x(t) = A\exp (-\delta t)\cos ( \Omega  t-\phi)) </math>
+כאשר <math>\Omega</math> הוא תדר התנודות העצמיות של המערכת השווה ל-<math>\Omega ^2 = \omega_0 ^2- \delta^2</math>, <math> \omega_0^2 = {k \over m}</math>,
+ו- <math>\delta={\lambda \over 2m}</math> הנקרא גורם הריסון.
+האמפליטודה A והפאזה <math>\phi</math> תלויים בתנאי התחלה של המערכת.
+כאשר:  - גורם הריסון,  - תדירות התנודות. מתקיים: