הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה/בוחן 1 - פתרון"
מתוך Math-Wiki
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
||
שורה 33: | שורה 33: | ||
תהי <math>a_{n_k}</math> תת סדרה של <math>a_n</math> כך ש | תהי <math>a_{n_k}</math> תת סדרה של <math>a_n</math> כך ש | ||
− | <math>\displaystyle{\lim_{a_{n_k}}}=\overline{\lim}a_n</math> | + | <math>\displaystyle{\lim_{n\to\infty}{a_{n_k}}}=\overline{\lim}a_n</math> |
+ | |||
+ | (הרי יש תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון) | ||
+ | |||
+ | היות ש <math>\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_n-b_n=0</math>, | ||
+ | |||
+ | אז כמובן ש | ||
+ | <math>\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_{n_k}-b_{n_k}=0</math> | ||
+ | |||
+ | (כי תת סדרה של סדרה מתכנסת, מתכנסת לאותו מספר). | ||
+ | |||
+ | ולכן | ||
+ | <math>\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}b_{n_k}=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}(b_{n_k}-a_{n_k})+\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}a_{n_k}=0+\overline{\lim}a_n</math> | ||
+ | |||
+ | כלומר <math>\overline{\lim}a_n</math> הוא גם גבול חלקי של <math>b_n</math> ולכן | ||
+ | |||
+ | <math>\overline{\lim}a_n\leq \overline{\lim}b_n</math> | ||
+ | (כי <math>\overline{\lim}b_n</math> הוא הגבול החלקי הגדול ביותר) | ||
+ | |||
+ | בדרך דומה מוכיחים | ||
+ | |||
+ | <math>\overline{\lim}a_n\geq \overline{\lim}b_n</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן | ||
+ | |||
+ | <math>\overline{\lim}a_n = \overline{\lim}b_n</math> | ||
+ | |||
+ | כנדרש | ||
==שאלה 3 (30 נק)== | ==שאלה 3 (30 נק)== |
גרסה מ־08:23, 24 בדצמבר 2014
תוכן עניינים
שאלה 1 (30 נק)
סעיף א
תהיינה שתי סדרות כך ש:
- 1.
- 2.
הוכיחו/הפריכו:
סעיף ב
תהי סדרה וקבוע כך ש
הוכיחו כי מתכנסת.
(רמז: יש בשאלה הזו קושי)
שאלה 2 (40 נק)
סעיף א
לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.
- 1. הוכיחו/הפריכו:
- 2. הוכיחו/הפריכו:
סעיף ב
נניח .
- הוכיחו/הפריכו:
פתרון: הטענה נכונה.
תהי תת סדרה של כך ש
(הרי יש תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון)
היות ש ,
אז כמובן ש
(כי תת סדרה של סדרה מתכנסת, מתכנסת לאותו מספר).
ולכן
כלומר הוא גם גבול חלקי של ולכן
(כי הוא הגבול החלקי הגדול ביותר)
בדרך דומה מוכיחים
ולכן
כנדרש
שאלה 3 (30 נק)
סעיף א
תהי סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה
הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה
סעיף ב
קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים