קוד:מציאת נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה

\subsection{מציאת נקודות קיצון וקביעת תחומי עלייה וירידה}

ניזכר בהגדרה של נקודות מינימום ומקסימום:

\begin{definition}

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה. נקודה $x\in(a,b)$ נקראת \textbf{נקודת מינימום (מקומי)} של $f$, אם קיימת ל-$x$ סביבה שבה הערך של $f$ ב-$x$ קטן (או שווה) משאר הנקודות בסביבה. נקודה $x\in(a,b)$ נקראת \textbf{נקודת מקסימום (מקומי)} של $f$, אם קיימת ל-$x$ סביבה שבה הערך של $f$ ב-$x$ גדול (או שווה) משאר הנקודות בסביבה.

\end{definition}

\begin{definition}

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה.

\begin{enumerate}

\item נאמר ש-$f$ \textbf{עולה} בקטע $I$ (כאשר $I\subseteq(a,b)$), אם לכל $x,y\in I$, $$x>y\Rightarrow f(x)\ge f(y)$$

\item נאמר ש-$f$ \textbf{עולה ממש} בקטע $I$ (כאשר $I\subseteq(a,b)$), אם לכל $x,y\in I$, $$x>y\Rightarrow f(x)>f(y)$$

\item נאמר ש-$f$ \textbf{יורדת} בקטע $I$ (כאשר $I\subseteq(a,b)$), אם לכל $x,y\in I$, $$x>y\Rightarrow f(x)\leq f(y)$$

\item נאמר ש-$f$ \textbf{יורדת ממש} בקטע $I$ (כאשר $I\subseteq(a,b)$), אם לכל $x,y\in I$, $$x>y\Rightarrow f(x)<f(y)$$

\end{enumerate}

\end{definition}

כשמחפשים נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה, נעזרים במשפטים הבאים:

\begin{thm}[למת פרמה]

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה, ונניח ש-\(x_0\in(a,b)\) נקודת קיצון מקומי (ז"א, מינימום מקומי או מקסימום מקומי). \textbf{אם} $f$ גזירה ב-$x_0$, אזי $f'(x_0)=0$.

\end{thm}

\begin{thm}

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה הגזירה בקטע $(a,b)$.

\begin{enumerate}

\item $f$ עולה אם ורק אם הנגזרת אי-שלילית.

\item $f$ עולה ממש אם ורק אם הנגזרת חיובית.

\item $f$ יורדת אם ורק אם הנגזרת אי-חיובית.

\item $f$ יורדת ממש אם ורק אם הנגזרת שלילית.

\end{enumerate}

\end{thm}

מהמשפט אנו לומדים כיצד לחפש נקודות קיצון: גוזרים את הפונקציה, ומחפשים את כל הנקודות שבהן הנגזרת מתאפסת. הנקודות החשודות לקיצון הן הנקודות שבהן הנגזרת מתאפסת או אינה מוגדרת (אבל הפונקציה כן מוגדרת). אז עורכים טבלה, ומשלימים את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

יש לנו עוד כלי די נחמד למציאת קיצון, המסתמך על נגזרות מסדר גבוה:

\begin{thm}

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה הגזירה $n$ פעמים בקטע $(a,b)$, ותהי $x_0\in(a,b)$. נניח ש-$f'(x_0)=f(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0$, אבל $f^{(n)}(x_0)\neq 0$.

\begin{enumerate}

\item אם $n$ אי-זוגי, $x_0$ אינה נקודת קיצון.

\item אם $n$ זוגי ואם $f^{(n)}(x_0)>0$, אזי $x_0$ נקודת מינימום מקומי.

\item אם $n$ זוגי ואם $f^{(n)}(x_0)<0$, אזי $x_0$ נקודת מקסימום מקומי.

\end{enumerate}

\end{thm}