הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4"
מתוך Math-Wiki
(←מרחבים וקטורים) |
(←דוגמאות) |
||
שורה 45: | שורה 45: | ||
==דוגמאות == | ==דוגמאות == | ||
1. | 1. | ||
− | + | <math>V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math> | |
עם חיבור <math>(a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})</math> | עם חיבור <math>(a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})</math> | ||
וכפל בסקלאר <math>\alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})</math> | וכפל בסקלאר <math>\alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})</math> | ||
+ | |||
+ | 2. | ||
+ | מרחב המטריצות <math>\mathbb{F}^{m\times n}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר. | ||
+ | |||
+ | 3. | ||
+ | מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית | ||
+ | <math>\mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> | ||
+ | |||
+ | עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים. | ||
+ | |||
+ | 4. | ||
+ | מרחב הפולינומים <math>\mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים. |
גרסה מ־12:15, 9 ביולי 2015
מרחבים וקטורים
דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ
עם חיבור
וכפל בסקלאר הוא מרחב וקטורי.
ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.
הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה , כאשר
- היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר
- הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של וכפל בסקלאר.
- כפל בסקלאר () היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי . פורמאלית
אקסיומות מרחב וקטורי:
- אקסיומות של החיבור ב : לכל מתקיים
- מוגדרות: .
- קיבוץ: .
- חילוף: .
- איבר נטרלי: .
- איבר נגדי: .
- אקסיומות של כפל וחיבור של שדה: בהגדרת שדה
- אקסיומות כפל בסקלאר: לכל מתקיים
- מוגדרות
- קיבוץ:
- כפל ביחידה (של השדה):
- פילוג:
טרמינולוגיה: אומרים ש מרחב וקטורי מעל .
איברי נקראים וקטורים. איברי נקראים סקלארים.
תכונות בסיסיות:
.1
.2
דוגמאות
1. מעל
עם חיבור
וכפל בסקלאר
2. מרחב המטריצות מעל שדה עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.
3. מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית מעל שדה
עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.
4. מרחב הפולינומים עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.