הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8"
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←פתרון) |
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←פתרון) |
||
שורה 189: | שורה 189: | ||
נשלים לבסיס ל V | נשלים לבסיס ל V | ||
− | + | בעזרת | |
− | + | <math> | |
\{ | \{ | ||
v_1= | v_1= | ||
שורה 219: | שורה 219: | ||
\end{pmatrix}</math> | \end{pmatrix}</math> | ||
− | ואז | + | ואז |
+ | <math>T(U)=T(span\{v_1,v_2\})= span\{Tv_1,Tv_2\} = span\{0\} = \{0\} </math> | ||
+ | ולכן <math>U\subseteq kerT</math> | ||
+ | |||
+ | בכיוון השני, יהיה <math>v=\alpha_1v_1 +\alpha_2v_2+\alpha_3v_3 \in KerT</math> אזי <math>0=Tv= \alpha_1Tv_1 +\alpha_2Tv_2+\alpha_3Tv_3=\alpha_3 \begin{pmatrix} | ||
+ | 1\\ | ||
+ | 1\\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | </math> | ||
+ | ולכן <math>\alpha_3=0</math> ואז <math>v\in U</math> | ||
+ | |||
+ | בנוסף, באופן דומה, | ||
+ | |||
+ | <math>ImT=T(V)=T(span\{v_1,v_2,v_3\}) = span\{Tv_1,Tv_2,Tv_3\} | ||
+ | = span | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | 1\\ | ||
+ | 1\\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | כנדרש. |
גרסה מ־16:03, 19 ביולי 2015
תוכן עניינים
העתקות לינאריות (ה"ל)
הגדרה: יהיו שני מ"ו מעל אותו שדה . ה"ל היא פונקציה אם
(או באופן שקול: אם לכל מתקיים )
תכונות בסיסיות:
.1
.2
דוגמאות
1. יהיו שניהם מעל . תהא אזי העתקה המוגדרת היא ה"ל.
הוכחה: לכל מתקיים
2. שניהם מעל . אזי העתקה
המגודרת היא ה"ל.
הוכחה: לכל
3. שניהם מעל . אזי העתקה
המגודרת היא ה"ל.
הוכחה:
4. העתקת הזהות המוגדרת היא ה"ל.
5. העתקת האפס המוגדרת היא ה"ל.
6. יהי מ"ו מעל מימד ויהי בסיס אזי הפונקציה המוגדרת היא ה"ל.
דוגמאות נגדיות
1. יהיו . אזי העתקה המוגדרת אינה ה"ל.
כי למשל
שלא שווה ל
תרגיל
יהיו שתי ה"ל. בסיס ל . נניח לכל
הוכח: . כלומר לכל מתקיים
הוכחה: יהי אזי כי בסיס ובפרט פורשת. ואז
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(v)=T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) = \\ = \alpha_{1}S(v_{1})+\alpha_{2}S(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}S(v_{n})=S(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=S(v)
משפט ההגדרה
יהיו שני מ"ו מעל . יהי בסיס ל ויהיו וקטורים כלשהם.
אזי קימת ה"ל יחידה כך ש לכל
מסקנה ניתן להגדיר ה"ל יחידה ע"י קביעה לאן ישלח בסיס ל V
דוגמאות
1. מצא את הה"ל המקימת . כתוב את העתקה מפורשות, כלומר לאן שולחת פולינום כללי
פתרון: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(a+bx+cx^{2})=aT(1)+bT(x)+cT(x^{2}) = \\ =a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x
הגדרות
תהא ה"ל.
- הגרעין של מוגדר
- התמונה של מוגדרת
- הדרגה של מוגדרת
דוגמאות
1. יהיו . תהאונסתכל על העתקה המוגדרת . אזי
משפט
תהא ה"ל.
אזי חח"ע מתקיים כי
תרגיל:
תהא ה"ל. ויהיו וקטורים ב אזי
- אם בת"ל אז בת"ל
- אם חח"ע אז גם הכיוון ההפוך נכון. כלומר אם בת"ל אז
הוכחה
- נניח . נפעיל על שני האגפים ונקבל מלינאריות של כי . כיוון שנתון ש בת"ל נקבל כי כנדרש.
- נניח כי . מלינאריות נקבל כי כיוון ש חח"ע נקבל כי . כיוון ש בת"ל נקבל כי כנדרש.
תרגיל
האם קימת ה"ל חח"ע?
פתרון: נניח בשלילה כי חח"ע אזי כיוון ש בתל גם בת"ל אבל שייכים למרחב וקטורי מימד 2 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 2.
תרגיל
האם קימת ה"ל על?
פתרון: נניח בשלילה כי על אזי יש מקור ל . נסמן את המקורות ב כלומר . כיוון ש בת"ל גם בת"ל אבל שייכים למרחב וקטורי מימד 3 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 3.
תרגיל
תהא ה"ל. תהא תת קבוצה. אזי
הוכחה:
() יהא צ"ל באיברי אזי הוא איבר כללי.
כעת שזה צ"ל באיברי ולכן שייך ל
() יהא צ"ל באיברי אזי הוא מהצורה כאשר
מלינאריות נקבל כי
מסקנה לכל תת מרחב מתקיים כי תת מרחב.
תרגיל
יהיו והמישור עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): U=\{\mbox{\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right):}x+y+z=0\} = span\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1 \end{array}\right)\} \leq V
מצא ה"ל כך ש וגם
פתרון
נשלים לבסיס ל V בעזרת
לפי משפט ההגדרה מספיק להגדיר בעזרת הבסיס.
נגדיר
ואז ולכן
בכיוון השני, יהיה אזי ולכן ואז
בנוסף, באופן דומה,
כנדרש.