הבדלים בין גרסאות בדף "88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 1"
שורה 60: | שורה 60: | ||
תרגיל: פתרו את <math>e\approx2.51 </math> | תרגיל: פתרו את <math>e\approx2.51 </math> | ||
פתרון: נשתמש בחוקי הלוגריתמים <math>ln\left(\left(1+x\right)\left(1-x\right)\right)=0 </math> ואז נקבל <math>ln\left(1-x^{2}\right)=0 </math> ואז לפי ההגדרה של הלוגריתם מקבלים <math>1-x^{2}=1 </math> u> ולכן תושב סופי היא היא x שווה אפס. | פתרון: נשתמש בחוקי הלוגריתמים <math>ln\left(\left(1+x\right)\left(1-x\right)\right)=0 </math> ואז נקבל <math>ln\left(1-x^{2}\right)=0 </math> ואז לפי ההגדרה של הלוגריתם מקבלים <math>1-x^{2}=1 </math> u> ולכן תושב סופי היא היא x שווה אפס. | ||
+ | |||
+ | ===ערך מוחלט ואי שוויון=== | ||
+ | |||
+ | הגדרה: ערך מוחלט של מספר הוא המרחק שלו מנקודה אפס ומסמנים אותו בצורה הבאה: | ||
+ | <math>\mid x\mid=\begin{cases} | ||
+ | x & x\geq0\\ | ||
+ | -x & x\leq0 | ||
+ | \end{cases} </math> | ||
+ | |||
+ | מרחק בין שתי נקודות מוגדר להיות <math>\mid x-y\mid </math> | ||
+ | |||
+ | ===תכונות של ערך מוחלט=== | ||
+ | |||
+ | 1) לכל x מתקיים <math>\mid x\mid\geq0 </math> | ||
+ | |||
+ | 2) <math>\mid x\mid=0 </math> אם ורק אם <math>x=0 </math> | ||
+ | |||
+ | 3) <math>\mid xy\mid=\mid x\mid y\mid </math> | ||
+ | |||
+ | 4) <math>\left(\mid x\mid\right)^{2}=x^{2} </math> | ||
+ | |||
+ | 5) <math>x\leq\mid x\mid </math> | ||
+ | |||
+ | 6) אי שוויון המשולש: <math>\mid x+y\mid\leq\mid x\mid+\mid y\mid </math> |
גרסה מ־17:54, 20 באוקטובר 2015
תוכן עניינים
חזקות ושורשים
1) אם a הוא מספר כלשהוא ו-n מספר טבעי, אזי a בחזקת n מוגדר באופן הבא: , מספר a נקרא בסיס החזקה, מספר n נקרא מעריך החזקה.
2) ניקח מספר ממשי חיובי x וניקח חזקה כאשר n הוא מספר טבעי.נגדיר את x בחזקת להיות השורש ה-n-י של x:
3) באופן כללי נגדיר חזקה רציונאלית באופן הבא:
חוקי חזקות
- לכל x מתקיים
- לכל x מתקיים ובפרט
- לכל x שונה מאפס מתקיים
הגדרה: פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה כאשר בסיס a הוא מספר קבוע.
תרגיל: מצא את הפתרונות של המשוואה
פתרון: ראשית נשים לב לכך ש: ולכן נסמן נציב את t במשוואה ונקבל עם הפתרונות , לכן עלינו לפתור שתי משוואות:
1) נעשה מכנה משותף ונקבל נסמן ב- ונקבל משוואה קל לראות שלמשוואה הזאת אין פתרון.
2) שוב נעשה מכנה משותף ונקבל לאחר שנציב , פתרונות למשוואה הזאת הם ולכן פתרון כללי הוא
הגדרת הלוגריתם
לוגריתם של מספר x לפי בסיס a הוא b אם b הוא מעריך החזקה שבסיסה a וערכה x, כלומר .
תכונות
אם אזי:
1)
2)
3) b מספר כלשהוא.
4)
הגדרה: פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה כאשר a הוא מספר קבוע חיובי ושונה מ-1 ותחום ההגדרה שלה הוא .
חוקי לוגריתמים
1)
2)
3)
4)
5) וגם
הערה: מקרה פרטי החשוב ביותר בו נתענין בקורס הוא כאשר
תרגיל: פתרו את פתרון: נשתמש בחוקי הלוגריתמים ואז נקבל ואז לפי ההגדרה של הלוגריתם מקבלים u> ולכן תושב סופי היא היא x שווה אפס.
ערך מוחלט ואי שוויון
הגדרה: ערך מוחלט של מספר הוא המרחק שלו מנקודה אפס ומסמנים אותו בצורה הבאה:
מרחק בין שתי נקודות מוגדר להיות
תכונות של ערך מוחלט
1) לכל x מתקיים
2) אם ורק אם
3)
4)
5)
6) אי שוויון המשולש: