שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא: הבדלים בין גרסאות בדף
(←תשובה) |
|||
| שורה 22: | שורה 22: | ||
כל מה שנותר הוא לבחור הוא <math>N_{\epsilon}</math> כלשהו כך ש<math>N_{\epsilon}>\frac{1}{\epsilon^2}</math> ואז ברור שלכל <math>n>N_{\epsilon}</math> מתקיים <math>n>N_{\epsilon}>\frac{1}{\epsilon^2}</math> ולכן מתקיים אי השיוויון הרצוי <math>|\frac{1}{\sqrt{n}}-0|<\epsilon</math>. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:46, 29 באוקטובר 2010 (IST) | כל מה שנותר הוא לבחור הוא <math>N_{\epsilon}</math> כלשהו כך ש<math>N_{\epsilon}>\frac{1}{\epsilon^2}</math> ואז ברור שלכל <math>n>N_{\epsilon}</math> מתקיים <math>n>N_{\epsilon}>\frac{1}{\epsilon^2}</math> ולכן מתקיים אי השיוויון הרצוי <math>|\frac{1}{\sqrt{n}}-0|<\epsilon</math>. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:46, 29 באוקטובר 2010 (IST) | ||
::אפשר גם דוגמה להוכחה שסדרה היא מתבדרת? | ::אפשר גם דוגמה להוכחה שסדרה היא מתבדרת? | ||
:::הדוגמא הקלאסית הינה <math>a_n=(-1)^n</math>. נניח '''בשלילה''' שהסדרה מתכנסת לגבול L חיובי (ההוכחה עבור שליליים דומה). לכן לכל אפסילון (ובפרט עבור <math>\epsilon=1</math>) יש מקום בסדרה (<math>N_{\epsilon}</math>) כך שהחל ממנו והלאה כל איברי הסדרה (לכל <math>n>N_{\epsilon}</math>) מקיימים <math>|a_n-L|=|(-1)^n-L|<\epsilon=1</math>. לכן בפרט, יש איברים אי זוגיים שמקיימים את זה, ניקח אחד כזה ונקבל <math>|-1-L|<1</math> אבל <math>L>0</math> ולכן <math>-1-L<0</math> ולכן <math>|-1-L|=1+L</math> וביחד מקבלים <math>1+L<1</math> ולכן <math>L<0</math> וזו '''סתירה'''. לכן לא יכול להיות גבול L חיובי כזה, וכמו שאמרתי ההוכחה עבור השלילים ואפס דומה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:37, 29 באוקטובר 2010 (IST) | |||
== שאלה 1ב. == | == שאלה 1ב. == | ||
גרסה מ־15:37, 29 באוקטובר 2010
הוספת שאלה חדשה
הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).
-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן
אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.
ארכיון
שאלות
עזרה דחופה בגבולות
שלום לכולם, הנושא של גבולות, הוא פשוט נושא כל כך קשה, שרק את ההגדרה לקח לי בערך 3 שעות להבין. כל הוכחה או תרגיל שהיו קשורים לגבולות לא הבנתי בכלל, ואני חייב עזרה. אפשר אלגוריתם מלא לפתרון בעיה שבא צריך למצוא ולהוכיח גבול של סדרה או להוכיח שאין גבול של סדרה? למשל בתרגיל 3, בשאלה 1 א. צריך למצוא גבול לסדרה 1 חלקי שורש n. הבנתי שהגבול הזה הוא 0. צריך למצוא N אפסילון שבשבילו לכל n גדול מN אפסילון יתקיים ש [math]\displaystyle{ |a_n|\lt e }[/math]. חיפשתי ערכים מתאימים ובעזרת מחשבון מצאתי שלכל [math]\displaystyle{ N=[1/(e^2)] }[/math] כשב[] אני מתכוון לתקרה. אבל איך עכשיו אני מתקדם? איך לעבור מ nים שגדולים מN, לan? תודה!
תשובה
הפתרון הוא דומה לדברים שעשינו בכיתה. צריך להתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \epsilon }[/math] כלומר במקרה הזה [math]\displaystyle{ |\frac{1}{\sqrt{n}}-0|\lt \epsilon }[/math] ולכן אחרי פיתוח קל מקבלים שצריך להתקיים [math]\displaystyle{ n\gt \frac{1}{\epsilon^2} }[/math]. לכל n אי השיוויון האחרון מתקיים אם"ם אי השיוויון המקורי מתקיים.
כל מה שנותר הוא לבחור הוא [math]\displaystyle{ N_{\epsilon} }[/math] כלשהו כך ש[math]\displaystyle{ N_{\epsilon}\gt \frac{1}{\epsilon^2} }[/math] ואז ברור שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N_{\epsilon} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ n\gt N_{\epsilon}\gt \frac{1}{\epsilon^2} }[/math] ולכן מתקיים אי השיוויון הרצוי [math]\displaystyle{ |\frac{1}{\sqrt{n}}-0|\lt \epsilon }[/math]. --ארז שיינר 15:46, 29 באוקטובר 2010 (IST)
- אפשר גם דוגמה להוכחה שסדרה היא מתבדרת?
- הדוגמא הקלאסית הינה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math]. נניח בשלילה שהסדרה מתכנסת לגבול L חיובי (ההוכחה עבור שליליים דומה). לכן לכל אפסילון (ובפרט עבור [math]\displaystyle{ \epsilon=1 }[/math]) יש מקום בסדרה ([math]\displaystyle{ N_{\epsilon} }[/math]) כך שהחל ממנו והלאה כל איברי הסדרה (לכל [math]\displaystyle{ n\gt N_{\epsilon} }[/math]) מקיימים [math]\displaystyle{ |a_n-L|=|(-1)^n-L|\lt \epsilon=1 }[/math]. לכן בפרט, יש איברים אי זוגיים שמקיימים את זה, ניקח אחד כזה ונקבל [math]\displaystyle{ |-1-L|\lt 1 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ L\gt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ -1-L\lt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |-1-L|=1+L }[/math] וביחד מקבלים [math]\displaystyle{ 1+L\lt 1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ L\lt 0 }[/math] וזו סתירה. לכן לא יכול להיות גבול L חיובי כזה, וכמו שאמרתי ההוכחה עבור השלילים ואפס דומה. --ארז שיינר 17:37, 29 באוקטובר 2010 (IST)
שאלה 1ב.
בקשר לסינוס של n!, מתכוונים שמה שבתוך הסינוס הוא במעלות או ברדיאנים? כי יוצאות תוצאות שונות.
- זה לא משנה, אתה צריך להגיע לזה ש [math]\displaystyle{ sin(n!) }[/math] בכלל לא משפיע על הגבול. רמז לזה הוא ש[math]\displaystyle{ sin }[/math] היא פונקציה חסומה בין 1 ל-1-. גיל טנקוס :)
- למה זה לא משנה? הצבתי ערכים הולכים וגדלים במחשבון. כשהצבתי במעלות, יצא לי שמn=6 ומעלה, הסינוס מתאפס והסדרה היא קבועה על 0. אך כשהצבתי ברדיאנים הסדרה לא התאפסה ויצאו ערכים שונים לגמרי, כך שזה כן משפיע! ולא הבנתי מה זה אומר שהפונקציה חסומה, אתה יכול להסביר? תודה!