שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא: הבדלים בין גרסאות בדף
(←כלל לופיטל: פסקה חדשה) |
|||
| שורה 25: | שורה 25: | ||
:::הדוגמא הקלאסית הינה <math>a_n=(-1)^n</math>. נניח '''בשלילה''' שהסדרה מתכנסת לגבול L חיובי (ההוכחה עבור שליליים דומה). לכן לכל אפסילון (ובפרט עבור <math>\epsilon=1</math>) יש מקום בסדרה (<math>N_{\epsilon}</math>) כך שהחל ממנו והלאה כל איברי הסדרה (לכל <math>n>N_{\epsilon}</math>) מקיימים <math>|a_n-L|=|(-1)^n-L|<\epsilon=1</math>. לכן בפרט, יש איברים אי זוגיים שמקיימים את זה, ניקח אחד כזה ונקבל <math>|-1-L|<1</math> אבל <math>L>0</math> ולכן <math>-1-L<0</math> ולכן <math>|-1-L|=1+L</math> וביחד מקבלים <math>1+L<1</math> ולכן <math>L<0</math> וזו '''סתירה'''. לכן לא יכול להיות גבול L חיובי כזה, וכמו שאמרתי ההוכחה עבור השלילים ואפס דומה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:37, 29 באוקטובר 2010 (IST) | :::הדוגמא הקלאסית הינה <math>a_n=(-1)^n</math>. נניח '''בשלילה''' שהסדרה מתכנסת לגבול L חיובי (ההוכחה עבור שליליים דומה). לכן לכל אפסילון (ובפרט עבור <math>\epsilon=1</math>) יש מקום בסדרה (<math>N_{\epsilon}</math>) כך שהחל ממנו והלאה כל איברי הסדרה (לכל <math>n>N_{\epsilon}</math>) מקיימים <math>|a_n-L|=|(-1)^n-L|<\epsilon=1</math>. לכן בפרט, יש איברים אי זוגיים שמקיימים את זה, ניקח אחד כזה ונקבל <math>|-1-L|<1</math> אבל <math>L>0</math> ולכן <math>-1-L<0</math> ולכן <math>|-1-L|=1+L</math> וביחד מקבלים <math>1+L<1</math> ולכן <math>L<0</math> וזו '''סתירה'''. לכן לא יכול להיות גבול L חיובי כזה, וכמו שאמרתי ההוכחה עבור השלילים ואפס דומה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:37, 29 באוקטובר 2010 (IST) | ||
::::תודה רבה!! | ::::תודה רבה!! | ||
:(שואל אחר) בקשר להוכחה של 1א, אני השתמשתי באריתמטיקה של גבולות (באופן דומה למה שמצויין בשאלה [[#אריתמטיקה של גבולות|הזו]]). זה בסדר? (ד"א, מצטרף לשאלה השנייה שם - האם צ"ל ש-<math>\infty^c=\infty</math> אם c>0, או שזה מספיק טריוויאלי?). [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]] 22:23, 30 באוקטובר 2010 (IST) | |||
== שאלה 1ב. == | == שאלה 1ב. == | ||
גרסה מ־20:23, 30 באוקטובר 2010
הוספת שאלה חדשה
הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).
-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן
אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.
ארכיון
שאלות
עזרה דחופה בגבולות
שלום לכולם, הנושא של גבולות, הוא פשוט נושא כל כך קשה, שרק את ההגדרה לקח לי בערך 3 שעות להבין. כל הוכחה או תרגיל שהיו קשורים לגבולות לא הבנתי בכלל, ואני חייב עזרה. אפשר אלגוריתם מלא לפתרון בעיה שבא צריך למצוא ולהוכיח גבול של סדרה או להוכיח שאין גבול של סדרה? למשל בתרגיל 3, בשאלה 1 א. צריך למצוא גבול לסדרה 1 חלקי שורש n. הבנתי שהגבול הזה הוא 0. צריך למצוא N אפסילון שבשבילו לכל n גדול מN אפסילון יתקיים ש [math]\displaystyle{ |a_n|\lt e }[/math]. חיפשתי ערכים מתאימים ובעזרת מחשבון מצאתי שלכל [math]\displaystyle{ N=[1/(e^2)] }[/math] כשב[] אני מתכוון לתקרה. אבל איך עכשיו אני מתקדם? איך לעבור מ nים שגדולים מN, לan? תודה!
תשובה
הפתרון הוא דומה לדברים שעשינו בכיתה. צריך להתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \epsilon }[/math] כלומר במקרה הזה [math]\displaystyle{ |\frac{1}{\sqrt{n}}-0|\lt \epsilon }[/math] ולכן אחרי פיתוח קל מקבלים שצריך להתקיים [math]\displaystyle{ n\gt \frac{1}{\epsilon^2} }[/math]. לכל n אי השיוויון האחרון מתקיים אם"ם אי השיוויון המקורי מתקיים.
כל מה שנותר הוא לבחור הוא [math]\displaystyle{ N_{\epsilon} }[/math] כלשהו כך ש[math]\displaystyle{ N_{\epsilon}\gt \frac{1}{\epsilon^2} }[/math] ואז ברור שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N_{\epsilon} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ n\gt N_{\epsilon}\gt \frac{1}{\epsilon^2} }[/math] ולכן מתקיים אי השיוויון הרצוי [math]\displaystyle{ |\frac{1}{\sqrt{n}}-0|\lt \epsilon }[/math]. --ארז שיינר 15:46, 29 באוקטובר 2010 (IST)
- אפשר גם דוגמה להוכחה שסדרה היא מתבדרת?
- הדוגמא הקלאסית הינה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math]. נניח בשלילה שהסדרה מתכנסת לגבול L חיובי (ההוכחה עבור שליליים דומה). לכן לכל אפסילון (ובפרט עבור [math]\displaystyle{ \epsilon=1 }[/math]) יש מקום בסדרה ([math]\displaystyle{ N_{\epsilon} }[/math]) כך שהחל ממנו והלאה כל איברי הסדרה (לכל [math]\displaystyle{ n\gt N_{\epsilon} }[/math]) מקיימים [math]\displaystyle{ |a_n-L|=|(-1)^n-L|\lt \epsilon=1 }[/math]. לכן בפרט, יש איברים אי זוגיים שמקיימים את זה, ניקח אחד כזה ונקבל [math]\displaystyle{ |-1-L|\lt 1 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ L\gt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ -1-L\lt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |-1-L|=1+L }[/math] וביחד מקבלים [math]\displaystyle{ 1+L\lt 1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ L\lt 0 }[/math] וזו סתירה. לכן לא יכול להיות גבול L חיובי כזה, וכמו שאמרתי ההוכחה עבור השלילים ואפס דומה. --ארז שיינר 17:37, 29 באוקטובר 2010 (IST)
- תודה רבה!!
- הדוגמא הקלאסית הינה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math]. נניח בשלילה שהסדרה מתכנסת לגבול L חיובי (ההוכחה עבור שליליים דומה). לכן לכל אפסילון (ובפרט עבור [math]\displaystyle{ \epsilon=1 }[/math]) יש מקום בסדרה ([math]\displaystyle{ N_{\epsilon} }[/math]) כך שהחל ממנו והלאה כל איברי הסדרה (לכל [math]\displaystyle{ n\gt N_{\epsilon} }[/math]) מקיימים [math]\displaystyle{ |a_n-L|=|(-1)^n-L|\lt \epsilon=1 }[/math]. לכן בפרט, יש איברים אי זוגיים שמקיימים את זה, ניקח אחד כזה ונקבל [math]\displaystyle{ |-1-L|\lt 1 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ L\gt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ -1-L\lt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |-1-L|=1+L }[/math] וביחד מקבלים [math]\displaystyle{ 1+L\lt 1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ L\lt 0 }[/math] וזו סתירה. לכן לא יכול להיות גבול L חיובי כזה, וכמו שאמרתי ההוכחה עבור השלילים ואפס דומה. --ארז שיינר 17:37, 29 באוקטובר 2010 (IST)
- (שואל אחר) בקשר להוכחה של 1א, אני השתמשתי באריתמטיקה של גבולות (באופן דומה למה שמצויין בשאלה הזו). זה בסדר? (ד"א, מצטרף לשאלה השנייה שם - האם צ"ל ש-[math]\displaystyle{ \infty^c=\infty }[/math] אם c>0, או שזה מספיק טריוויאלי?). אור שחףשיחה 22:23, 30 באוקטובר 2010 (IST)
שאלה 1ב.
בקשר לסינוס של n!, מתכוונים שמה שבתוך הסינוס הוא במעלות או ברדיאנים? כי יוצאות תוצאות שונות.
- זה לא משנה, אתה צריך להגיע לזה ש [math]\displaystyle{ sin(n!) }[/math] בכלל לא משפיע על הגבול. רמז לזה הוא ש[math]\displaystyle{ sin }[/math] היא פונקציה חסומה בין 1 ל-1-. גיל טנקוס :)
- למה זה לא משנה? הצבתי ערכים הולכים וגדלים במחשבון. כשהצבתי במעלות, יצא לי שמn=6 ומעלה, הסינוס מתאפס והסדרה היא קבועה על 0. אך כשהצבתי ברדיאנים הסדרה לא התאפסה ויצאו ערכים שונים לגמרי, כך שזה כן משפיע! ולא הבנתי מה זה אומר שהפונקציה חסומה, אתה יכול להסביר? תודה!
- סינוס באוניברסיטה הוא תמיד ברדיאנים, זה קודם כל.
שנית סינוס לא מתאפס בערכים גבוהים לא ברדאינים ולא במעלות (איך זה הגיוני בכלל שהוא יתאפס בסולם אחד אבל לא בסולם אחר).פונקציה חסומה בין 1 למינוס 1, כלומר שהערכים שלה קטנים שווים ל1 וגדולים שווים למינוס אחד. למשל, הפונקציה לא יכולה לקבל את הערכים 50 או מינוס 100 (לעולם). --ארז שיינר 17:41, 29 באוקטובר 2010 (IST)- אני עושה במחשבון [math]\displaystyle{ sin(6!) }[/math] וכשהמחשבון במצב של מעלות זה נותן לי 0 (וכך גם בכל הערכים מעל 6). איך זה?
- והנה, הפונקציה קיבלה ערך מחוץ ל1 ול1-! אתה לא מתכוון שהפונקציה -מוציאה- (לא "מקבלת") ערכים ביו 1 ל1-?
- ודבר אחרון, אני יודע מה זה אומר חסומה, התכוונתי, האם אפשר הסבר לגבי איך זה מתקשר לתרגיל? תודה!
- אפס הוא כן 'בין' אחד למינוס אחד. על מנת להבין את הקשר, מומלץ לקרוא את התרגול שם דברנו על משפט שקשור לסדרות חסומות. ולגבי המעלות, אתה צודק זו טעות שלי, וזה כן הגיוני שזה קבוע אפס (כי זה הופך להיות כפולה שלימה של 360 מעלות, ולא משנה במה תכפיל זה ישאר כפולה שלימה של 360 מעלות). בכל אופן, מדובר על רדיאנים. --ארז שיינר 18:06, 29 באוקטובר 2010 (IST)
- אופס אפס זה בין 1 ל 1- חחח טעות שלי. תודה בכל מקרה
- ועכשיו הבנתי למה התכוונת. כאשר אומרים מקבלת, הכוונה היא שזה הערך המתקבל. כך או כך סינוס n! חסום לכל n.
- חיפשתי ולא מצאתי. אפשר עזרה לגבי העניין של החסימה? האם יש משפט שאומר שאם פונקציה היא חסומה מלמעלה או מלמטה, אז הכפל שלה עם פונקציה אחרת "לא משפיע" על הגבול של הפונקציה המתקבלת? כי זה לא נראה לי כל כך נכון, כי אם ניקח למשל את הפונקציה הקבועה an=0, היא חסומה, וכן הפונקציה הקבועה bn=1, אזי מכפלת הפונקציות צריכה להיות 1 (כי לכאורה ה0 לא משפיע על 1) כשבעצם הגבול של הפונקציה an=0*1 הוא 0.
- בתרגיל כיתה נניח אתה לא מוצא, מה לגבי תרגיל הבית? יש שם שאלה על סדרה חסומה? --ארז שיינר 18:29, 29 באוקטובר 2010 (IST)
- נחמד! תודה רבה! כשאומרים סדרה קטנה מסדרה אחרת (an<bn) מתכוונים שכל איברי הסדרה קטנים מאיברי הסדרה השנייה?
- הכוונה היא שהם קטנים איבר איבר, לא שכל איברי סדרה אחת קטנה מכל איברי הסדרה השנייה. נגיד איברי הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n+1}:\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5} }[/math] קטנים מאיברי הסדרה [math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{n}:\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4} }[/math] --ארז שיינר 18:58, 29 באוקטובר 2010 (IST)
- נחמד! תודה רבה! כשאומרים סדרה קטנה מסדרה אחרת (an<bn) מתכוונים שכל איברי הסדרה קטנים מאיברי הסדרה השנייה?
- בתרגיל כיתה נניח אתה לא מוצא, מה לגבי תרגיל הבית? יש שם שאלה על סדרה חסומה? --ארז שיינר 18:29, 29 באוקטובר 2010 (IST)
- חיפשתי ולא מצאתי. אפשר עזרה לגבי העניין של החסימה? האם יש משפט שאומר שאם פונקציה היא חסומה מלמעלה או מלמטה, אז הכפל שלה עם פונקציה אחרת "לא משפיע" על הגבול של הפונקציה המתקבלת? כי זה לא נראה לי כל כך נכון, כי אם ניקח למשל את הפונקציה הקבועה an=0, היא חסומה, וכן הפונקציה הקבועה bn=1, אזי מכפלת הפונקציות צריכה להיות 1 (כי לכאורה ה0 לא משפיע על 1) כשבעצם הגבול של הפונקציה an=0*1 הוא 0.
- אפס הוא כן 'בין' אחד למינוס אחד. על מנת להבין את הקשר, מומלץ לקרוא את התרגול שם דברנו על משפט שקשור לסדרות חסומות. ולגבי המעלות, אתה צודק זו טעות שלי, וזה כן הגיוני שזה קבוע אפס (כי זה הופך להיות כפולה שלימה של 360 מעלות, ולא משנה במה תכפיל זה ישאר כפולה שלימה של 360 מעלות). בכל אופן, מדובר על רדיאנים. --ארז שיינר 18:06, 29 באוקטובר 2010 (IST)
- סינוס באוניברסיטה הוא תמיד ברדיאנים, זה קודם כל.
- למה זה לא משנה? הצבתי ערכים הולכים וגדלים במחשבון. כשהצבתי במעלות, יצא לי שמn=6 ומעלה, הסינוס מתאפס והסדרה היא קבועה על 0. אך כשהצבתי ברדיאנים הסדרה לא התאפסה ויצאו ערכים שונים לגמרי, כך שזה כן משפיע! ולא הבנתי מה זה אומר שהפונקציה חסומה, אתה יכול להסביר? תודה!
תרגיל 3, שאלה 5ב
צריך להוכיח או להפריך שאם [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}|a_n|=|a| }[/math] אז [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=a }[/math]. כמובן שזה לא נכון אם a<0, ולכן אני שואל אם התכוונתם ל-[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n={\color{red}|}a{\color{red}|} }[/math] (וכנ"ל לגבי 5ג). תודה, 89.139.184.191 17:39, 29 באוקטובר 2010 (IST)
- אין טעות בשאלה (ומגניב האדום הזה) --ארז שיינר 17:42, 29 באוקטובר 2010 (IST)
תרגיל 3 שאלה 5 ד
לא הבנתי עד הסוף למה הכוונה מיתכנס במובן הרחב.. כי ברור שאם הסידרה שואפת לאפס אז ההופכי שלה ישאף לאינסוף האם עיקרון זה מספיק בישביל להגיד שהסידרה מיתכנסת במובן הרחב?
תשובה
למי זה ברור? אין דברים ברורים, יש הוכחות. וכאשר מושג לא מובן חייבים לחפש את ההגדרה המדוייקת שלו. במקרה הזה, סדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף אם לכל 0<M קיים מקום בסדרה [math]\displaystyle{ N_M }[/math] כך שהחל ממנו והלאה (לכל [math]\displaystyle{ n\gt N_M }[/math]) מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\gt M }[/math].
סדרה מתכנסת במובן הרחב למינוס אינסוף אם לכל 0<M קיים מקום בסדרה [math]\displaystyle{ N_M }[/math] כך שהחל ממנו והלאה (לכל [math]\displaystyle{ n\gt N_M }[/math]) מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\lt -M }[/math].
עכשיו סתם נקודת למחשבה - תחשוב על הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\frac{(-1)^n}{n} }[/math].
שאלה 7
הגעתי למצב שנישאר לי רק להוכיח את שורש N של N מתכנסת לאחד היסתכלתי על התרגיל שפתרתה בכיתה ואני לא מבין את ההוכחה לזה..האם זה קשור לאי שיוויון ברנולי כי לא לימדתה את זה
תשובה
אל מי אתה מדבר? כי אני (ארז) הוכחתי את אי שיוויון ברנולי, ואני מניח שגם המרצה. שנית צריך להוכיח בתרגיל ש[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a}\rightarrow 1 }[/math] עבור a קבוע. ידוע לנו מהכיתה ש[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n}\rightarrow 1 }[/math]. מעבר לכך אתה מוזמן להגיד מה לא הבנת מההוכחה בכיתה. --ארז שיינר 13:19, 30 באוקטובר 2010 (IST)
אריתמטיקה של גבולות
המרצה שלנו לא הוכיח שלכל סדרה [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] שמתכנסת במובן הרחב מתקיים: [math]\displaystyle{ \forall c\in\mathbb{R}: \lim_{n\to\infty}a_n^c=\left(\lim_{n\to\infty}a_n\right)^c }[/math] או [math]\displaystyle{ \forall c\in\{x\in\mathbb{R}:x\gt 0\}: \lim_{n\to\infty}a_n^c=\left(\lim_{n\to\infty}a_n\right)^c }[/math] אם הגבול או an שווה 0. (הוא הוכיח רק שזה נכון עבור [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{N} }[/math]). מותר להשתמש בזה? 82.166.216.211 19:29, 30 באוקטובר 2010 (IST)
תשובה
אתה צודק שזה לא הוכח בהרצאה, אפשר להניח שזה נכון (רק אתה מתכוונת לסדרה שמתכנסת, לא מתכנסת במובן הרחב) --ארז שיינר 19:40, 30 באוקטובר 2010 (IST)
- אני כן מתכוון במובן הרחב, כאשר [math]\displaystyle{ \infty^c=\infty }[/math] לכל [math]\displaystyle{ c\gt 0 }[/math]. 82.166.216.211 20:09, 30 באוקטובר 2010 (IST)
- נו, אז את זה אפשר להוכיח דיי בקלות ישירות.
- אבל צריך להוכיח (במבחנים ובש"ב)? או שזה שמותר להשתמש בזה כמשפט? תודה, 82.166.216.211 20:28, 30 באוקטובר 2010 (IST)
- נו, אז את זה אפשר להוכיח דיי בקלות ישירות.
עזרה בהוכחת 1 ד.
הפונקציה מתכנסת לאינסוף. כדי להוכיח שהיא לא מתכנסת לאף גבול, אני יכול או להוכיח שהיא מתכנסת במובן הרחב לאינסוף, או להוכיח פשוט שהיא לא מתכנסת לגבול ממשי, נכון? ניסיתי להוכיח שהיא לא מתכנסת לאף גבול ממשי, ע"י הנחה בשלילה, ונתקעתי, לא הצלחתי להוכיח.
אז ניסיתי להוכיח שהיא מתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אבל שוב נתקעתי, כי הגעתי לאי שוויון [math]\displaystyle{ M\lt (3^{n-1})/(2^n) }[/math], ומכאן אני צריך להגיע למשוואה שבצד אחד שלה יש רק n, וזה בלתי אפשרי. אפשר עזרה לגבי מה לעשות? תודה רבה!
- תסתכל על ההערה בתחילת התרגיל, ותחשוב איך להשתמש בה כאן. --ארז שיינר 20:21, 30 באוקטובר 2010 (IST)
- אתה מתכוון לתזכורת? דבר ראשון, לא צריך להוכיח את זה? דבר שני, יש כאן מנה של פונקציות מעריכיות שזה לא בהכרח מתכנס לאינסוף!
- התזכורת כן, ואין צורך להוכיח אותה. תחשוב איך להפוך את זה לצורה של התזכורת --ארז שיינר 20:57, 30 באוקטובר 2010 (IST)
- הבנתי, יש לי רק שאלה: המשפט מהתזכורת עובד גם עבור פונקציה של n במקום n? כלומר [math]\displaystyle{ lim(n-\gt inf) a^f(n)= inf }[/math] ? (מקווה שתבין את צורת הכתיבה שלי)
- אין כרגע בקורס פונקציות, לכן זה לא רלוונטי לתרגיל, אבל כן, קבוע גדול מאחד בחזקת משהו ששואף לאינסוף בהכרח ישאף לאנסוף. --ארז שיינר 21:35, 30 באוקטובר 2010 (IST)
- אבל השאלה היא האם צריך להוכיח שכשn שואף לאינסוף אז הפונקציה של n שנמצאת במעריך של הקבוע, שואף לאינסוף. כי אם כן, אז התרגיל נשאר באותו רמת קושי ולא עשינו פה כלום בעצם (יוצא לי a בחזקת משהו עם לוגריתם).
- אין כרגע בקורס פונקציות, לכן זה לא רלוונטי לתרגיל, אבל כן, קבוע גדול מאחד בחזקת משהו ששואף לאינסוף בהכרח ישאף לאנסוף. --ארז שיינר 21:35, 30 באוקטובר 2010 (IST)
- הבנתי, יש לי רק שאלה: המשפט מהתזכורת עובד גם עבור פונקציה של n במקום n? כלומר [math]\displaystyle{ lim(n-\gt inf) a^f(n)= inf }[/math] ? (מקווה שתבין את צורת הכתיבה שלי)
- התזכורת כן, ואין צורך להוכיח אותה. תחשוב איך להפוך את זה לצורה של התזכורת --ארז שיינר 20:57, 30 באוקטובר 2010 (IST)
- אתה מתכוון לתזכורת? דבר ראשון, לא צריך להוכיח את זה? דבר שני, יש כאן מנה של פונקציות מעריכיות שזה לא בהכרח מתכנס לאינסוף!
תרגול 3-שאלה 7
ארז,שבוע טוב! אמרת שבשאלה 7 צריך להוכיח בשלילה שL שונה מאפס כדי להגיע לכך שהוא שווה לאפס. אפשר עוד כיוון בבקשה כי זה לא הולך לי..? (הצלחתי להוכיח רק את הצד שאם הגבול שווה 0 אז היא מתכנסת..) תודה!
- רמז: אריתמטיקה של גבולות. מה אפשר לעשות כאשר גבול הסדרה שונה מאפס? --ארז שיינר 21:36, 30 באוקטובר 2010 (IST)
כלל לופיטל
מותר להשתמש בכלל לופיטל? ובכלל, האם מותר להשתמש בכל מה שלמדנו בביה"ס? תודה, אור שחףשיחה 22:16, 30 באוקטובר 2010 (IST)