88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/חסמים

חזרה לרשימת הנושאים

חסמים

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ U }[/math] סדורה ותהי תת-קבוצה [math]\displaystyle{ A\subseteq U }[/math] , אזי:

• [math]\displaystyle{ M\in U }[/math] נקרא חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם [math]\displaystyle{ \forall a\in A:a\le M }[/math]
• [math]\displaystyle{ m\in U }[/math] נקרא חסם מלרע של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם [math]\displaystyle{ \forall a\in A:a\ge m }[/math]
• חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math] נקרא מקסימום אם הוא שייך לקבוצה [math]\displaystyle{ A }[/math]
• חסם מלרע של [math]\displaystyle{ A }[/math] נקרא מינימום אם הוא שייך לקבוצה [math]\displaystyle{ A }[/math]
• חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math] נקרא החסם העליון של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם אין ל- [math]\displaystyle{ A }[/math] חסם מלעיל קטן ממש ממנו. (כלומר, החסם העליון הוא המינימום מבין קבוצת חסמי המלעיל, אם כזה קיים.)
• חסם מלרע של [math]\displaystyle{ A }[/math] נקרא החסם התחתון של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם אין ל- [math]\displaystyle{ A }[/math] חסם מלרע גדול ממש ממנו. (כלומר, החסם התחתון הוא המקסימום מבין קבוצת חסמי המלרע, אם כזה קיים.)

שימו לב לשלילות הבאות:

• [math]\displaystyle{ M }[/math] אינו חסם מלעיל אם"ם קיים אבר [math]\displaystyle{ a\gt M }[/math]
• [math]\displaystyle{ m }[/math] אינו חסם מלרע אם"ם קיים אבר [math]\displaystyle{ a\lt m }[/math]
• [math]\displaystyle{ M }[/math] אינו חסם עליון אם"ם הוא אינו חסם מלעיל או שקיים חסם מלעיל הקטן ממש ממנו.
• [math]\displaystyle{ m }[/math] אינו חסם תחתון אם"ם הוא אינו חסם מלרע או שקיים חסם מלרע הגדול ממש ממנו.

אקסיומת השלימות של המספרים הממשיים - לכל [math]\displaystyle{ A\subseteq\R }[/math] חסומה מלעיל (מלרע) קיים חסם עליון (תחתון).

ניתן לראות ששדה הרציונאליים אינו שלם. נגדיר קבוצה של כל המספרים הרציונאליים אשר בריבוע קטנים משתים (כלומר המספרים שקטנים מ- [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math]). לכל חסם מלעיל של הקבוצה, יש חסם מלעיל הקרוב יותר ל- [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math] הקטן ממנו (שכן [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math] עצמו אינו רציונאלי ולכן לא יכול להוות חסם מלעיל). לכן אין אף חסם עליון לקבוצה החסומה מלעיל שבנינו.

משפט.

תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\R }[/math] חסומה מלעיל אזי:

• [math]\displaystyle{ M }[/math] חסם עליון של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ M }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math] וגם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ a\gt M-\varepsilon }[/math]
• [math]\displaystyle{ m }[/math] חסם תחתון של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ m }[/math] חסם מלרע של [math]\displaystyle{ A }[/math] וגם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ a\lt m+\varepsilon }[/math]

במילים: [math]\displaystyle{ M }[/math] חסם עליון אם הוא חסם מלעיל וגם אין חסם מלעיל הקטן ממנו. כלומר, כל מספר הקטן ממנו אינו חסם מלעיל. כלומר, אם נקטין את [math]\displaystyle{ M }[/math] בגודל כלשהו שאינו 0 נקבל מספר שאינו חסם מלעיל. מספר אינו חסם מלעיל אם"ם יש אבר בקבוצה הגדול ממנו. (ניסוח דומה עבור החסם התחתון.)

הוכחה.

נניח [math]\displaystyle{ M }[/math] חסם עליון. מתוך ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש- [math]\displaystyle{ M }[/math] חסם מלעיל. נותר להוכיח כי

[math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0,\exists a\in A:a\gt M-\varepsilon }[/math]

נניח בשלילה כי קיים [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] כל שלכל האברים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a\le M-\varepsilon }[/math] .

לכן, לפי ההגדרה [math]\displaystyle{ M-\varepsilon }[/math] הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיון שאפסילון גדול מ-0, [math]\displaystyle{ M-\varepsilon }[/math] הוא חסם מלעיל קטן ממש מהחסם העליון [math]\displaystyle{ M }[/math] , בסתירה לכך שהוא חסם המלעיל הקטן ביותר.

תרגיל.

תהי [math]\displaystyle{ A=\left\{\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\Big|n\in\N\right\} }[/math] מצא חסם עליון, חסם עליון, מינימום ומקסימום (אם הם קיימים).

ראשית, נביט במספר אברים מהקבוצה על מנת לקבל הערכה כלשהי: [math]\displaystyle{ A=\left\{-1,2\dfrac14,-1\dfrac89,2\dfrac1{16},\ldots\right\} }[/math]

אנחנו מעריכים כי שתים ורבע הוא מקסימום (ולכן גם חסם עליון, הרי מקסימום הנו תמיד חסם עליון אם הוא קיים), ואנו מעריכים כי 2- הנו חסם תחתון שאינו בקבוצה ולכן אין מינימום. נוכיח את כל זה.

• נוכיח כי שתים ורבע חסם מלעיל (ואז מכיוון שהוא בקבוצה הוא מקסימום ולכן חסם עליון). צ"ל שכל אבר בקבוצה קטן או שווה לו, ולכן צ"ל שלכל [math]\displaystyle{ n }[/math] טבעי מתקיים

[math]\displaystyle{ \dfrac1{n^2}+2(-1)^n\le2+\dfrac14 }[/math]

עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] זה ברור. אם [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math] ניתן לומר

[math]\displaystyle{ \dfrac1{n^2}+2(-1)^n\le\dfrac1{n^2}+2\le2+\dfrac14 }[/math]

• כעת נוכיח כי מינוס שתים הינו חסם מלרע, כלומר לכל n טבעי מתקיים:

[math]\displaystyle{ \dfrac1{n^2}+2(-1)^n\gt -2 }[/math]

אבל

[math]\displaystyle{ \dfrac1{n^2}+2(-1)^n\ge\dfrac1{n^2}-2\gt -2 }[/math]

• כעת נוכיח כי בנוסף, לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים אבר [math]\displaystyle{ a }[/math] בקבוצה כך ש- [math]\displaystyle{ a\lt -2+\varepsilon }[/math] .

יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] , צ"ל [math]\displaystyle{ n }[/math] טבעי כך ש:

[math]\displaystyle{ \dfrac1{n^2}+2(-1)^n\lt -2+\varepsilon }[/math]

מכיון שצריך להראות שקיים [math]\displaystyle{ n }[/math] טבעי אחד כזה, מספיק בפרט למצוא אחד כזה אי-זוגי. לכן ננסה למצוא

[math]\displaystyle{ \begin{align}\dfrac1{(2k+1)^2}+2(-1)^{2k+1}\lt -2+\varepsilon\\\dfrac1{(2k+1)^2}-2\lt -2+\varepsilon\\2k+1\gt \sqrt{\dfrac1{\varepsilon}}\end{align} }[/math]

תמיד ניתן למצוא [math]\displaystyle{ k }[/math] טבעי כזה אחרת קבוצת הטבעיים הייתה חסומה, משל.

לכן הוכחנו כי [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math] הנו חסם תחתון. נותר להוכיח כי לא קיים מינימום

• נוכיח כי החסם התחתון [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math] אינו שייך לקבוצה ולכן לא קיים מינימום (אחרת הוא היה חסם תחתון). כלומר, נוכיח כי לא קיים [math]\displaystyle{ n }[/math] טבעי כך ש:

[math]\displaystyle{ \dfrac1{n^2}+2(-1)^n=-2 }[/math]

אבל כבר הראינו שאברי הקבוצה גדולים ממש ולא שווים ל-2-.