דוגמאות להוכחת התכנסות באמצעות קריטריון קושי

תרגיל 1

תרגיל: תהי סדרה [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |a_n-a_{n-1}|\lt \frac{1}{2^n} }[/math]. הוכח ש[math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] מתכנסת.

פתרון: נוכיח ש [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

[math]\displaystyle{ |a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\leq }[/math]

[math]\displaystyle{ \leq |a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+...+|a_{n+1}-a_n|\lt }[/math]

[math]\displaystyle{ \lt \frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^{m-1}}+...+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1}{2^{m-n-1}}+...+1] }[/math] (לפי הנתון)

[math]\displaystyle{ =\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac{1}{2}}]=\frac{1}{2^n}[1-\frac{1}{2^{m-n}}]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\leq \frac{1}{2^n} \rightarrow 0 }[/math]

תרגיל 2

תרגיל: תהי סדרה [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|\leq p|a_n-a_{n-1}| }[/math], עבור [math]\displaystyle{ 0\lt p\lt 1 }[/math] הוכח ש[math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] מתכנסת.

פתרון: נוכיח ש [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

דבר ראשון, נשים לב ש- [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|\leq p|a_n-a_{n-1}|\leq p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\leq ...\leq p^{n-1}|a_2-a_1| }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ d=|a_2-a_1| }[/math] ולכן סה"כ [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|\leq p^{n-1}d }[/math]

כעת,

[math]\displaystyle{ |a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\leq }[/math]

[math]\displaystyle{ \leq |a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+...+|a_{n+1}-a_n|\leq }[/math]

[math]\displaystyle{ \leq p^{m-2}d+...+p^{n-1}d = p^{n-1}d(p^{m-n-1}+...+1)=p^{n-1}d(\frac{1-p^{m-n-1}}{1-p}) \leq p^{n-1}\frac{d}{1-p} \rightarrow 0 }[/math] (לפי מה שהראנו)

מכיוון ש[math]\displaystyle{ p^n\rightarrow 0 }[/math] עבור p<1.