הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 6 תשעז"
(←תרגיל) |
(←פתרון) |
||
שורה 48: | שורה 48: | ||
<math>\cup_{n\in \mathbb{N}} B_n \subseteq \mathbb{N}\smallsetminus \{1\} </math>: הכל מהטבעיים וכל הקבוצות מוגדרות ע"י איברים הגדולים מ-<math>2</math>. | <math>\cup_{n\in \mathbb{N}} B_n \subseteq \mathbb{N}\smallsetminus \{1\} </math>: הכל מהטבעיים וכל הקבוצות מוגדרות ע"י איברים הגדולים מ-<math>2</math>. | ||
− | <math>\mathbb{N}\smallsetminus \{1\} \subseteq \cup_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>: יהי <math>a\in \mathbb{N}\smallsetminus \{1\}</math> נמצא קבוצה בה הוא נמצא. נשים לב ש-<math>B_n=\{2n,2n+1\}</math>. לכן אם <math>a</math> זוגי הוא נמצא ב- <math>B_{\frac{n}{2}</math> ואם אי-זוגי אז <math>a\in B_{\frac{n-1}{2}</math>. | + | <math>\mathbb{N}\smallsetminus \{1\} \subseteq \cup_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>: יהי <math>a\in \mathbb{N}\smallsetminus \{1\}</math> נמצא קבוצה בה הוא נמצא. נשים לב ש-<math>B_n=\{2n,2n+1\}</math>. לכן אם <math>a</math> זוגי הוא נמצא ב- <math>B_{\frac{n}{2}}</math> ואם אי-זוגי אז <math>a\in B_{\frac{n-1}{2}}</math>. |
ב. נתייחס ל-<math>\mathbb{N}</math> כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:<math>\cap_{n\in \mathbb{N}} D_n=\cap_{n\in \mathbb{N}} B_n^c=(\cup_{n\in \mathbb{N}} B_n)^c=\{1\}</math>. | ב. נתייחס ל-<math>\mathbb{N}</math> כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:<math>\cap_{n\in \mathbb{N}} D_n=\cap_{n\in \mathbb{N}} B_n^c=(\cup_{n\in \mathbb{N}} B_n)^c=\{1\}</math>. |
גרסה מ־19:07, 25 בנובמבר 2017
חזרה לדף מערכי התרגול.
תוכן עניינים
המשך קבוצות
משלים
הגדרה: תהי קבוצה , ונביט בתת קבוצה שלה
. ניתן להגדיר את המשלים של
כאוסף האיברים ב-
שאינם ב-
(כלומר ההפרש
), המסומן
. לא ניתן לדבר על משלים אוניברסלי ללא
מכיוון שאין קבוצה המכילה את כל הדברים בעולם (אחרת נגיע לסתירות כמו פרדוקס ראסל).
תכונות בסיסיות:
על המשלימים מתקיימים חוקי דה מורגן (הנובעים ישירות מחוקי דה מורגן בלוגיקה):
הערה: באופן כללי מתקיים
תרגיל
הוכיחו כי .
פתרון
נשתמש בהצגת ההפרש הסימטרי כאיחוד ההפרשים:
ומחילופיות "וגם" ו"או":
תרגיל
לכל נגדיר
ונגדיר
.
א. מצאו את
ב. נגדיר . מצאו את
.
פתרון
א. התשובה: . הוכחה:
: הכל מהטבעיים וכל הקבוצות מוגדרות ע"י איברים הגדולים מ-
.
: יהי
נמצא קבוצה בה הוא נמצא. נשים לב ש-
. לכן אם
זוגי הוא נמצא ב-
ואם אי-זוגי אז
.
ב. נתייחס ל- כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:
.
קבוצת החזקה
הגדרה: תהי קבוצה . נגדיר את קבוצת החזקה של
בתור אוסף כל תת הקבוצות של
. נסמן
.
דוגמה: נבחר אזי
.
האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה? הוכיחו זאת באינדוקציה.
תרגיל
הוכיחו או הפריכו:
א.
ב.
פתרון
א. הוכחה: .
ב. הפרכה: ניקח .
תרגיל ממבחן
תהינה קבוצות. הוכיחו או הפריכו:
א. אם אזי
ב. אם אזי
ג. אם אזי
פתרון
א. הפרכה: . אזי ברור ש-
איננה מוכלת בחיתוך
אבל
.
ב. נתון שלכל מתקיים
. אזי
כעת, הצד הימני הוא טאוטולוגיה וניתן להסיר אותו. מכיוון שנתון ניתן להסיק בקלות ש-
, כפי שרצינו.
דרך נוספת: נגדיר את להיות הקבוצה האוניברסאלית
ואז צריך להוכיח כי
וזה אכן נכון!
ג. נניח בשלילה ש-. מכיוון שהקבוצה הריקה שייכת לכל קבוצת חזקה, החיתוך אינו ריק. לכן לפי הנחת השלילה קיימת קבוצה לא ריקה
השייכת לחיתוך
. קבוצות החזקה הן אוסף תת הקבוצות, ולכן
. מכיוון ש-
אינה ריקה קיים בה איבר
וקל לראות ש-
ולכן
מוכל בחיתוך, בסתירה לכך שהחיתוך ריק.