הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 2"
(←פתרון) |
(←מעבר בין הצגות) |
||
שורה 6: | שורה 6: | ||
===מעבר בין הצגות=== | ===מעבר בין הצגות=== | ||
− | מקרטזית לפולרית: בהינתן <math>z=a+bi</math>, ניקח <math>r=\sqrt{a^2+b^2},\theta \text{ | + | מקרטזית לפולרית: בהינתן <math>z=a+bi</math>, ניקח <math>r=\sqrt{a^2+b^2},\theta \text{ such that} \tan \theta =\frac{b}{a}</math> עד כדי הוספת <math>\pi</math> לפי מיקום המספר על הצירים. |
'''לדוגמא:''' עבור המספר <math>-0.5+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> נקבל <math>r=\sqrt{0.25+\frac{3}{4}}=1,\theta=60+180=240=\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{4\pi}{3}</math>. | '''לדוגמא:''' עבור המספר <math>-0.5+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> נקבל <math>r=\sqrt{0.25+\frac{3}{4}}=1,\theta=60+180=240=\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{4\pi}{3}</math>. |
גרסה מ־11:07, 23 באוקטובר 2018
חזרה ל מערכי תרגול.
תוכן עניינים
הצגה פולרית של מספרים מרוכבים
נתבונן במספר מרוכב , נסמן ב
את הזוית עם הציר הממשי נגד השעון וב
את הנורמה, אז נקבל:
. ולכן נקבל
, שמסומן בקצרה:
.
מעבר בין הצגות
מקרטזית לפולרית: בהינתן , ניקח
עד כדי הוספת
לפי מיקום המספר על הצירים.
לדוגמא: עבור המספר נקבל
.
מפולרית לקרטזית: אם אז
.
תרגיל
חשבו:
1. .
2. .
פתרון
1. הנורמה מוכפלת והזויות מתחברות.
2. וברים לקרטזית ושם מחברים.
נוסחת דה-מואבר
מסקנה מכפל בהצגה פולרית נקבל: .
לדוגמא: .
כך נוכל למצוא שורשים של מספרים מרוכבים. באופן כללי: אם אז
.
תרגיל
חשב את
פתרון
נקבל . נשים לב שאם ניקח
נקבל
, ולכן זה בדיוק אותו מספר כמו עבור
.
שורשים של פולינם
תרגיל
פתרו: .
פתרון
ראשית נרשום את המספר מימין בהצגה פולרית: . עכשיו נשתמש בדה-מואבר: אנחנו מחפשים את כל המספרים המקיימים את המשוואה, ולכן מתקיים:
...
ראיתם בהרצאה שלכל פולינום, אם יש לו שורש מרוכב אז גם הצמוד שלו הוא שורש. בנוסף, המשפט היסודי של האלגברה אומר שכל פולינום מעל הממשיים מתפרק לגורמים ממעלה 1 או 2. נוכל להראות זאת בקצרה פה עבור הפולינום . ניקח מהשורשים את הממשיים (חייב להיות לפחת אחד, כי 5 מספר אי-זוגי), ואותם נשים בגורם מהצורה
. לכל זוג שורשים מרוכבים (שורש והצמוד שלו), נמצא את הגורם ממעלה 2 המתאים לו ע"י בחירת המשוואה הריבועית המתוקנת (
) ששורשיה מתקבלים מהנוסחה
. כך נמצא את
.