88-341 תשף סמסטר א

88-341 אנליזה מודרנית 1

מרצה: ד"ר שמעון ברוקס.

מתרגלים: עידו שפרינגר idospringer@gmail.com

הראל רוזנפלד harelrozen@gmail.com

קישורים

• חוברת ההרצאות
• מערכי הרצאות של ד"ר ברוקס על הכללת המשפט היסודי
• תרגולים של עופר מתשע"ח

הודעות

הקבוצה של עידו - בתאריך 25.12 לא יתקיים תרגול. אם תוכלו אבקש להגיע לתרגול של הראל בבוקר.

בוחן

תאריך הבוחן:

• מועד א': 24.12.19, יום שלישי בשעה 8:00. אזור 501 כיתה 25.
• מועד ב': 14.1.20.

חומר לבוחן: מה שלמדנו מתחילת הסמסטר עד השתנות חסומה ורציפות בהחלט. השאלות יכולות להילקח משיעורי בית או מתרגולים (עד שבוע 7), עד כדי שינויים קלים.

• בוחן מועד א', ופתרונו

תרגולים

הקבוצה של עידו

אשמח אם תודיעו לי במייל לגבי טעויות או דברים לא ברורים בדפי התרגול.

• תרגול 1, בעיקר על מידה חיצונית. מומלץ לעבור גם על התרגילים שלא הספקנו.
• תרגול 2, [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]-אלגברות וקבוצת קנטור. תוכלו להיעזר בתכונות המידה בשיעורי הבית.
• תרגול 3, מידה חיובית ומבוא לפונקציות מדידות.
• תרגול 4, פונקציות מדידות.
• תרגול 5, אינטגרל לבג, הלמה של פאטו ומשפט ההתכנסות המונוטונית.
• תרגול 6, משפט ההתכנסות הנשלטת ומשפט ההתכנסות החסומה.
• תרגול 7, רציפות בהחלט והשתנות חסומה.
• תרגול 8, הכללות לבג לתורת רימן.
• תרגול 9, משפט הצפיפות של לבג.

תרגילי בית

את תרגילי הבית יש להגיש במערכת המודל, בפורמט pdf.

• תרגיל 1, בנושא מידה חיצונית. להגשה עד 13.11.19. שימו לב לתיקון - קבוצה היא מטיפוס [math]\displaystyle{ G_\delta }[/math] אם היא חיתוך בן-מניה של קבוצות פתוחות.
• פתרון שאלת רשות
• תרגיל 2, בנושא [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]-אלגברות, מידת לבג וקבוצת קנטור. להגשה עד 20.11.19. רמז לשאלה 2: נסו להציג את A כחיתוכים ואיחודים בני מניה של קבוצות פתוחות כדי להראות כי A מדידה בורל (ולכן גם מדידה לבג). בשאלה 5, [math]\displaystyle{ \sigma(A) }[/math] היא ה-[math]\displaystyle{ \sigma }[/math]-אלגברה המינימלית המכילה את [math]\displaystyle{ A }[/math]. תיקון לשאלה 3 - הקבוצות [math]\displaystyle{ A_n }[/math] מדידות ב-[math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]. בסעיף ב', צריך להוכיח שהמידה של F גדולה או שווה ל-[math]\displaystyle{ \delta }[/math], ולא גדולה ממש.
• תרגיל 3, בנושא מידות כלליות. להגשה עד 27.11.19.
• פתרון שאלה 5
• תרגיל 4, בנושא פונקציות מדידות. להגשה עד 4.12.19. בשאלה 2, הכוונה לסדרת קבוצות מדידות.
• תרגיל 5, מבוא לאינטגרל לבג. להגשה עד 11.12.19. בשאלה 2 הכוונה למידת לבג.
• תרגיל 6, משפטי התכנסות אינטגרלים. להגשה עד 18.12.19. [math]\displaystyle{ f }[/math] שייכת ל-[math]\displaystyle{ L^1 }[/math] פירושו ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית, ממ"ח סופית - מידת המרחב כולו סופית, ממ"ח סיגמא סופי - ראו הגדרה 9.9 בחוברת.
• תרגיל 7, תנאי ליפשיץ, רציפות בהחלט והשתנות חסומה. להגשה עד 30.12.19.
• פתרון שאלה 3. מומלץ לנסות אותו לבד קודם, ולהגיש את מה שניסיתם לבד.
• תרגיל 8, רציפות בהחלט והכללות המשפט היסודי, משפט הצפיפות של לבג. להגשה עד 15.1.20. מי שצריך יותר זמן כדי לפתור את שאלות הרשות יכול להגיש באיחור.
• תרגיל 9, מידות מכפלה ומשפט פוביני-טונלי. להגשה עד 21.1.20.