הבדלים בין גרסאות בדף "חדוא 1 - ארז שיינר"
מתוך Math-Wiki
(←סרטוני ותקציר ההרצאות) |
(←מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)) |
||
שורה 93: | שורה 93: | ||
===מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)=== | ===מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)=== | ||
− | + | *(אי שיוויון המשולש.) | |
− | + | *סכום. | |
− | + | *מכפלה. | |
− | + | *חלוקה. | |
===כלים לחישוב גבולות=== | ===כלים לחישוב גבולות=== |
גרסה מ־08:41, 16 באוקטובר 2020
תוכן עניינים
מבחנים ופתרונות
סרטוני ותקציר ההרצאות
פרק 1 - מספרים וחסמים
קבוצות מספרים
- הטבעיים
- השלמים
- הרציונאליים
- הממשיים , כל השברים העשרוניים כולל האינסופיים
- העשרה: בנייה של שדה הממשיים באמצעות חתכי דדקינד
- לא קיים כך ש .
- במילים פשוטות, אינו רציונאלי (בהמשך נוכיח שיש מספר ממשי כזה).
חסמים
- תהי אזי:
- נקרא המקסימום של A או האיבר הגדול ביותר של A אם לכל מתקיים כי
- נקרא חסם מלעיל של A אם לכל מתקיים כי
- נקרא המינימום של A או האיבר הקטן ביותר של A אם לכל מתקיים כי
- נקרא חסם מלרע של A אם לכל מתקיים כי
- כמו כן:
- אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא החסם העליון של A, או הסופרמום של A ומסומן
- אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא החסם התחתון של A, או האינפימום של A ומסומן
- בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
- בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.
- תהי ויהי אזי:
- M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר קיים מספר כך ש
- m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר קיים מספר כך ש
- דוגמא: תהיינה חסומות מלעיל כך שA אינה מכילה חסמי מלעיל של B, אזי
פרק 2 - סדרות
הגדרת הגבול
- הגדרת הגבול של סדרה:
- תהי סדרה ממשית ויהי מספר ממשי .
- הינו גבול הסדרה (מסומן או ) אם:
- לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
- לכל מרחק קיים מקום כך שאחריו לכל מתקיים כי
- נגדיר ש אם לכל קיים כך שלכל מתקיים כי
- נגדיר ש אם
- טענה: תהי אזי
- טענה: תהי אזי
- הגבול הוא יחיד
- מספר סופי של איברים לא משפיע על הגבול
- סדרה מתכנסת במובן הצר חסומה
מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)
- (אי שיוויון המשולש.)
- סכום.
- מכפלה.
- חלוקה.
כלים לחישוב גבולות
- סנדביץ' וחצי סדנביץ'
- חסומה כפול אפיסה היא אפיסה.
- מבחן המנה (הוכחה בסיכום הבא על אי-שוויון הממוצעים).
- תהי סדרה המקיימת כי גבול המנה הוא אזי:
- אם מתקיים כי
- אם מתקיים כי
- מתקיים כי
- תהי סדרה המקיימת כי גבול המנה הוא אזי:
- דוגמא:
- אינדוקציה.
- ברנולי - אקספוננט חיובי שואף לאפס, אחד או אינסוף.
חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)
- אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
- חסומה כפול אפיסה = אפיסה
- חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
- אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
- אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.
- יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
- אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
- אם אזי
- חזקת סדרות שואפת לחזקת הגבולות.
המקרים הבעייתיים
- המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
סדרות מונוטוניות והמספר e
- כל סדרה מונוטונית הינה חסומה מתכנסת לגבול סופי, או שאינה חסומה ושואפת לגבול אינסופי.
- המספר e (הוכחות בעזרת אי-שוויון הממוצעים).
- .
- אם אזי
- , כאשר הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל.
- שני הצדדים שואפים לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לe.
- אם אזי
- ראשית (הוכחה בקישור לערך על המספר e).
- כעת חזקה שלילית הופכת את השבר, וניתן לסיים את ההוכחה באופן דומה להוכחה במקרה הקודם.
- אם אזי
- .
- בין אם שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
- שימו לב שאם , אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב ששווה אפס.
- דוגמא:
תתי סדרות וגבולות חלקיים
פרק 3 - טורים
פרק 4 - פונקציות ורציפות
מבוא לגבולות
- מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית).
הגדרת הגבול לפי קושי
הגדרת הגבול לפי היינה
הפונקציות הטריגונומטריות
- הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
-
- עבור זוית שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש:
-
- כיוון ש בתחום , נובע לפי סנדוויץ' ש.
- כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.
- כעת בתחום הקוסינוס חיובית ולכן ונובע כי .
- נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:
- לפי כלל הסנדביץ
- כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.
- ראינו ש.
- שימו לב ש, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.
פרק 5 - גזירות