שינויים
עריכה
ה'''סדנא בחשיבה מתמטית''' מרכיבה מציגה את חלקו הראשון של הקורס '''מתמטיקה בדידה''', ומטפלת בעקרונות עקרונות היסוד של החשיבה הלוגיקה המתמטית: כתיבה מדוייקת, לוגיקה פורמלית והוכחות מסודרות.
== הצרנה ==
* "כאשר אני עייף ורעב אני נעשה עצבני, או שאני הולך לישון; אבל אם אני עצבני ולא עייף, אז אין לי תאבון". (כלומר, עבור הביטויים המתאימים A,B,C,D: (אם A וגם B אז (C או D)), וגם (אם C ולא A אז לא B)).
בהצרנה מקצים לכל מרכיב בפסוק אטום שונה, ומרכיבים שונים - גם אם הם קרובים במשמעותם - מקבלים אטומים שונים. למשל, בדוגמא האחרונה, יש הבדל בין "חוסר תאבון" לבין "רעב".
*חוקי המשחק [http://www.setgame.com/set/puzzle_frame.htm SET]: על השולחן מונחים שנים-עשר קלפים, לכל קלף במשחק יש שלוש תכונות: '''צורה''', '''צבע''', '''מספר''' ו'''מילוי'''. על השחקנים למצוא שלישיות חוקיות; ''שלישיה חוקית'' הינה '''שלישיה של קלפים אשר כל תכונה שלהם בנפרד שווה בכולם או שונה בכולם'''. לכן שלישיה הינה חוקית אם (((הצבע של שלושת הקלפים זהה) או (לכל קלף יש צבע אחר)) וגם ((המילוי של שלושת הקלפים זהה) או (לכל קלף יש מילוי אחר))וגם ((המספר של שלושת הקלפים זהה) או (לכל קלף יש מספר אחר)) וגם ((הצורה של שלושת הקלפים זהה) או (לכל קלף יש צורה אחרת))). (כלומר, עבור הביטויים המתאימים A,B,C,D,E,F,H,I: שלישיה הינה חוקית אם ((A או B) וגם (C או D) וגם (E או F) וגם (H או I))). נכון משחק כיף?
הצרנה היא כלי מתמטי ולא ספרותי, ותוך כדי יצירת ביטוי חד-משמעי היא עשויה לאבד את המשמעויות העדינות של המשפט המקורי. לדוגמא, מצרינים
באותה צורה ("A וגם B"). המשמעות המרומזת ("בדרך כלל A גורר את השלילה של B") נעלמת.
*מורה אומרת לתלמידיה "שבוע הבא יהיה לכם בוחן, כך שבערב לפניו '''לא תדעו בוודאות''' על קיום הבוחן למחרת". לכאורה משפט זה יוצר סתירה לוגית כיוון שאם הבוחן ביום האחרון בשבוע, והמורה דוברת אמת, התלמדים '''ידעו''' שהבוחן יהיה למחרת, לכן המורה משקרת או שהבוחן לא ביום האחרון. כן הלאה, אם המורה דוברת אמת הבוחן לא ביום הלפני אחרון והלפני לפני אחרון, ולא יכול להיות בוחן בכלל. לכן אם המורה דוברת אמת, הרי היא משקרת. לעומת זאת, אם הבוחן יהיה ביום שלישי, התלמידים לא ידעו על כך ולכן המורה דברה אמת - סתירה. הסתירה נובעת מחוסר היכולת להגדיר מתמטית את המושג "ידעו", שכן התלמידים לא יכולים "לדעת" שהמורה אומרת אמת, ולכן לא יכולים ל"דעת" שהבוחן יהיה ביום חמישי.
'''תרגיל'''. *שקילות משפטים בנוסחים שונים - "ערן לובש חולצה סגולה אם לוגיקן הלך לאכול במסעדת גורמה. בסיום הארוחה הוא לובש מכנס שחורניגש אל המלצר בתחילת הארוחה ואומר לו: "תקבל טיפ אם תגיש את האוכל חם, "כאשר ערן לובש מכנס שחור אז הוא לובש חולצה סגולה"או אם האוכל יגיע קר אבל בזמן. כמו כן הטיפ שלך תלוי במידת אדיבותך: אם האוכל לא טעים ולא בררת איתי לגבי טעמו, "יחד עם מכנס שחורלא תקבל טיפ. דבר אחד עשוי להציל את הטיפ שלך - אם האוכל יהיה קר וטעים ויגיע באיחור, ערן לובש חולצה סגולה בלבדתוכל לפצות אותי על ידי קינוח חינם",..הצרן את התנאי לקבלת טיפ, וחשב מה קרה בארוחה אם ידוע שהמלצר לא קיבל טיפ.
=== ערך אמת ===
'''ערך אמת''' הוא אחת משתי האפשרויות - אמת או שקר, שמסמנים לשם הקיצור T ו-F (מ-True ו-False, כמובן). בתאור מדוייק ומכריע של העולםאם האטומים מפורטים מספיק (מי יגמור מה ומתי מאיזו צלחת), כל אטום (מפורט מספיק) מקבל ערך אמת. או שתגמור מהצלחת, או שלא. או שיבוא שוטר, או שלא. אם תגמור מהצלחת, אז ערך האמת של הפסוק "תגמור מהצלחת" הוא T, ואחרת, הוא F. זו הדרך לחבר את המציאות, את תמונת העולםשל המציאות, עם הפסוקים הלוגיים הפורמליים.
כאשר משייכים לכל אטום של פסוק לוגי ערך אמת, אפשר לחשב את ערך האמת של הפסוק עצמו. לשם כך יש להכיר את ה'''קשרים''' הלוגיים הבסיסיים.
== פסוקים וקשרים ==
פרדיקטים מאפשרים יותר גמישות מסתם אטומים, משום שאפשר להציב בהם בכל פעם משתנים אחרים. חשוב להבין שערך האמת של פסוק המערב בפרדיקטים, כמו <math>\ Y(x) \rightarrow M(x,x)</math> ("אם x צהוב, אז הוא אמא של עצמו") תלוי בערך המשתנה: בדוגמא הזו, אם x הוא אדם צהוב, הפסוק מקבל את הערך F, ואם x הוא אדם שאינו צהוב, ערך האמת הוא T. גמישות זו עדיין אינה מאפשרת לנסח טענות כלליות, כמו "אף אדם אינו אמא של עצמו". לשם כך יש צורך בכמתים.
*חסם עליון של קבוצה הינו מספר שגדול מכל אחד מאיברי הקבוצה. הצרן את המשפט "מספר הקטן מחסם עליון בהכרח חסם עליון בעצמו". (אל תשתמש במושג חסם עליון בהגדרה או בקבוצת החסמים העליונים, השתמש ישירות בהגדרה.) (בוודאי חלקיכם יתהו האם יש טעות במשפט, זכרו: משפט אינו חייב להיות טואוטולוגיה או אפילו נכון על מנת להיות מוצרן לפסוק.)
* הצרן: למדתי היטב למבחן, ואף על פי כן נכשלתי בו.
*נניח שהמשפט הבא הוא אמיתי: "כאשר אני בכושר אני מסוגל לרוץ 10 קילומטר".
**נניח עוד כי "כעת איני בכושר" האם אני מסוגל לרוץ 10 קילומטר? אם לא, הוכח (באמצעות הצרנה).
**נניח שאיני מסוגל לרוץ 10 קילומטר, האם אני בכושר? הוכח.
**נניח שאני מסוגל לרוץ 10 קילומטר, האם אני בכושר? הוכח.
*איחוד קבוצות הינו אוסף כל האיברים שנמצאים באחד מהקבוצות לפחות. נסח פסוק השקול לכך שאיבר שייך לאיחוד
*הצרן את המשפט "מי שלא קופץ אדום" ונסח את שלילתו.
===חידודים לוגיים===
*כל מי שמכליל הינו אדיוט
*לכל כלל שגוי יש יוצא מן הכלל
*לעולם אל תאמר לעולם, רק לי מותר
*אמנם לכל סיר יש מכסה, אבל אין לו ידיים לשים אותו
*אסור לבצע פעולות המנוגדות לטבע. כמו כן, אסור למספרים זוגיים להיות אי-זוגיים.
*...
=== כמתים ===
