שינויים
/* פתרון */
''תשובה שגויה:'' נקח חלוקה כלשהי <math>P=\{x_k\}_{k=0}^m</math> של <math>[a,b]</math>. לכל n מתקיים <math>v(f_n,P)=\sum_{k=1}^m |f_n(x_k)-f_n(x_{k-1})|\le M</math>. נשאיף <math>n\to\infty</math> ולכן <math>\sum_{n=1}^m |f(x_k)-f(x_{k-1})|\le M</math> באופן בלתי תלוי ב-P. לכן <math>T_a^b(f)\le M</math>.
דוגמה נגדית: "ידוע" שהפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}x \sin(1/x)&x\ne 0\\0&\text{else}\end{cases}</math> רציפה ב-<math>[0,1]</math> ובעלת השתנות בלתי חסומה בקטע. נגדיר <math>f_n(x)=\begin{cesescases}0&0\le x\le\frac1{\pi n}\\x\sin(1/x)&\text{else}\end{cesescases}</math> לכל n. נעיר שלכל n יש ל-<math>f_n(x)</math> השתנות חסומה. טענה: f_n\to f במ"ש ב-<math>[0,1]</math> . הוכחה: עבור <math>\frac1/{\pi n}<x\le 1</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f|=0</math> ואילו אם <math>0\le x\le \frac1{\pi n}</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|=|f(x)|=|x\sin(1/x)|\le |x|\le\frac1{\pi n}</math>, ששואף ל-0 ולכן ההתכנסות במ"ש.
==דוגמה 6==
