שינויים

===הוכחה בשלילהבדרך השלילה===הוכחה בשלילה נבנת בדרך השלילה נבנית על הטאוטולוגיה הפשוטה <math>A \equiv (\neg A \rightarrow F)</math>. לכן, כאשר אנו מעוניינים להוכיח בשלילהבדרך השלילה, אנו מניחים את השלילה של הטענה שלנו וגוזרים ממנה סתירה. מקרה פרטי הוא גזירה של A ואז מקבלים את הביטוי <math>A \and \neg A \equiv F</math>.

*נרצה רוצים להוכיח שקיימים שיש אינסוף מספרים ראשוניים. נניח בשלילה שקיים שיש רק מספר סופי של ראשוניים <math>p_1,...,p_n</math> אזי ; אז המספר <math>p_1\cdot p_2 \cdots p_n + 1</math> הינו מספר שלא אינו מתחלק באף אחד מהמספרים <math>p_1מספר ראשוני,...,p_n</math> ולכן הוא מוכרח להיות ראשוני ולכן קיימים <math>n+1</math> ראשוניים בסתירה לכך שקיימים n ראשוניים בלבד; אבל הוא גדול מכל מספר ראשוני, וזו סתירה. (הוכחה זו נמצאת בספרו בן ה-2300 שנה של אוקלידס, "יסודות").*נרצה רוצים להוכיח ששורש 2 אינו מספר רציונאלי רציונלי (כלומר שלם חלקי שלםשבר בעל מונה ומכנה שלמים). נניח בשלילה ששורש שתיים כן מספר רציונאלי, לכן קיימים שני שלמים הוא רציונלי. אז קיים שבר מצומצם <math>\frac{p}{q}</math> כך ש<math>\frac{p^2}{q^2}=2</math>, ועוד נניח כי השבר <math>\frac{p}{q}</math> מצומצם. לכן <math>p^2=2q^2</math> לכן <math>p</math> זוגי ולכן הוא מהצורה <math>2p'</math> ולכן מתקיים <math>2p'^2=q^2</math> ולכן <math>q</math> זוגי בסתירה לכך שהשבר היה מצומצם.*נוכיח שאין מספר רציונאלי מינמלי גדול מאפסרציונלי חיובי מינימלי. נניח בשלילה ש<math>q</math> הינו המספר הרציונאלי הקטן ביותר הגדול מאפס. אזי <math>0<\frac{q}{2}<q</math> הוא מספר רציונאלי, בסתירה.