שינויים
/* העברה נוספת */
*הטענה השלישית גוררת את הראשונה בקלות מתוך הטאוטולוגיה <math>(n \in\mathbb{N} \and C(n))\rightarrow n \in\mathbb{N} </math>
== קינון כמתים באנליזה ==
(הועבר מן הסדנא, [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 00:12, 6 באוקטובר 2011 (IST))
'''תרגיל'''. '''סדרה''' היא התאמה של מספר ממשי לכל מספר טבעי: <math>\ a_1,a_2,a_3,\cdots</math>. מספר ממשי L הוא '''גבול''' של הסדרה, אם לכל מספר חיובי שנבחר, יש מקום בסדרה שממנו והלאה מרחק האברים בסדרה מ-L קטן מן המספר האמור. הצרן את הטענות הבאות:
* L הוא גבול של הסדרה <math>\ a_1,a_2,a_3,\cdots</math>
<math>\forall \epsilon >0 : \exists N: \forall n> N: (|a_n-L|<\epsilon)</math>
* "0 הוא הגבול של הסדרה <math>\ 1, 1/2, 1/3, 1/4, \cdots</math>".
<math>\forall \epsilon >0 : \exists N: \forall n> N: (\frac{1}{n}<\epsilon)</math>
* "לסדרה <math>\ 1, 1/2, 1/3, 1/4, \cdots</math> קיים גבול".
<math>\exists L: \forall \epsilon >0 : \exists N: \forall n> N: (|\frac{1}{n}-L|<\epsilon)</math>
* "L איננו הגבול של הסדרה <math>\ a_1,a_2,\dots</math>".
<math>\exists \epsilon >0: \forall N: \exists n>N: (|a_n-L|\geq \epsilon)</math>
* "לסדרה <math>\ a_1,a_2,\dots</math> לא קיים גבול".
<math>\forall L: \exists \epsilon >0 :\forall N: \exists n>N: (|a_n-L| \geq \epsilon)</math>
* "אם יש לסדרה <math>\ a_1,a_2,\dots</math> גבול, אז הוא יחיד".
'''תרגיל'''. הפונקציה <math>\ f : C \rightarrow \mathbb{R}</math> '''רציפה בנקודה x''' אם לכל <math>\ \epsilon>0</math>, קיים <math>\ \delta>0</math> כך שאם <math>\ |x-y|<\delta</math> (עבור y בקטע) אז <math>\ |f(x)-f(y)|<\epsilon</math>. הפונקציה '''רציפה בקטע C''' אם היא רציפה בכל הנקודות x הנמצאות בקטע. הצרן את הטענות הבאות:
* הפונקציה <math>\ f(x) = x^5</math> רציפה בקטע [0,1].
<math>\forall x \in [0,1] : \forall \epsilon >0: \exists \delta >0: (|x-y|<\delta \rightarrow |x^5-y^5|<\epsilon)</math>
* הפונקציה <math>\ f(x) = x^5</math> אינה רציפה בנקודה x=0.
<math>\exists \epsilon >0: \forall \delta >0: (|y|<\delta \and |f(y)|> \epsilon)</math>
* הפונקציה f רציפה בנקודה x אם ורק אם לכל סדרה <math>\ a_1,a_2,\dots</math> המתכנסת ל-x, הערך <math>\ f(x)</math> הוא גבול של הסדרה <math>\ f(a_1),f(a_2),\dots</math>.
'''תרגיל'''. הפונקציה <math>\ f : C \rightarrow \mathbb{R}</math> '''רציפה במידה שווה בקטע C''' אם לכל <math>\ \epsilon>0</math>, קיים <math>\ \delta>0</math> כך שלכל x,y בקטע, אם <math>\ |x-y|<\delta</math> אז <math>\ |f(x)-f(y)|<\epsilon</math>. הצרן את הטענות הבאות:
* הפונקציה <math>\ f(x) = x^5</math> רציפה במידה שווה בקטע [0,1].
* הפונקציה <math>\ f(x) = x^5</math> אינה רציפה במידה שווה בקטע [0,1].
* אם הפונקציה f רציפה במידה שווה בקטע C, אז היא רציפה בכל נקודה שלו.
