שינויים
/* איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים */
'''הגדרה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. האיבר <math>a</math> נקרא אלגברי מעל <math>F</math> אם קיים פולינום <math>f(x)\neq 0</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. אם לא קיים פולינום כזה, <math>a</math> נקרא טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>.
'''דוגמא:''' <math>\sqrt{2}</math> הוא אלגברי מעל <math>\mathbb{Q}</math> כי הוא מאפס את <math>x^2-2\in\mathbb{Q}</math>. לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים <math>e,\pi</math> הם טרנסצנדנטיים מעל <math>\mathbb{Q}</math>.
'''טענה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. אזי <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math> אם ורק אם המימד של <math>F[a]</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> סופי. במקרה זה <math>F[a]</math> שדה.
'''הוכחה (תקציר):''' כוון אחד: נניח ש-<math>\dim_FF[a]=n<\infty</math>. אזי הקבוצה <math>\{1,a,a^2,\ldots,a^n\}</math> היא בגודל <math>n+1</math> ולכן תלויה לינארית מעל <math>F</math>. לכן קיימים <math>\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in F</math>, לא כולם 0, כך ש-<math>\alpha_0+\alpha_1a+\ldots+\alpha_na^n=0</math>. אם נגדיר <math>f(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\ldots+\alpha_nx^n\in F[x]</math> אז <math>f(x)\neq 0</math> ובעצם הראינו <math>f(a)=0</math>. לכן <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math>.
כוון שני: נניח שקיים <math>f(x)\neq 0</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. נסמן <math>n=\deg f</math>. מספיק להראות ש-<math>\{1,a,a^2,\ldots,a^{n-1}</math> קבוצה פורשת (מעל <math>F</math>) ל-<math>F[a]</math>. יהי <math>b\in F[a]</math> אזי <math>b=g(a)</math> עבור <math>g(x)\in F[x]</math> כלשהו. קיימים פולינומים <math>q(x),r(x)\in F[x]</math> כך ש-<math>g(x)=q(x)f(x)+r(x)</math> וגם <math>\deg r<\deg f=n</math>. אזי <math>g(a)=q(a)f(a)+r(a)=r(a)</math> ו-<math>r(a)\in\mathrm{span}\{1,a,\ldots,a^{n-1}\}</math> כי <math>\deg r<n</math>.
כדי לראות שבמקרה זה <math>F[a]</math> שדה, נשים לב ש-<math>F[a]</math> הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל <math>F</math> ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא:
'''תרגיל:''' יהי <math>R</math> תחום שלמות ו-<math>F\subseteq R</math> שדה כך ש-<math>\dim_FR<\infty</math>. אזי <math>R</math> שדה. [רמז: לכל <math>r\in R</math> ההעתקה <math>x\mapsto rx</math> היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).]
