שינויים
== הרחבות של שדות ==
'''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות, <math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math> ו-<math>F\subseteq K\subseteq L</math>. הוכיחו כי הקומפוזיטום של <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> ו-<math>K</math> הוא <math>K[a_1,\ldots,a_n]</math>.
== איברים אלגבריים - מבט מעמיק ==
'''טענת עזר:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a,b\in K</math> אלגבריים. אזי <math>F[a,b]/F</math> הרחבה אלגברית.
'''הוכחה:''' לפי טענה מקודם מספיק להראות ש-<math>[F[a,b]:F]<\infty</math>. מתקיים <math>[F[a,b]:F]=[F[a,b]:F[a]]\cdot [F[a]:F]</math> ולכן מספיק להראות סופיות של כל אחד מהגורמים במכפלה. לפי אותה טענה <math>[F[a]:F]<\infty</math> כי <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math>. בנוסף, <math>b</math> אלגברי מעל <math>F</math> ולכן גם מעל <math>F[a]</math>. כעת, אותה טענה גם אומרת כי <math>[F[a,b]:F[a]]<\infty</math> ולכן גמרנו.
'''מסקנה:''' אם <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a,b\in F</math> אלגבריים מעל <math>F</math>, אז גם <math>ab,a+b</math> אלגבריים מעל <math>F</math>.
'''תרגיל:''' בהנחות של המסקנה, אם <math>a\neq 0</math> אז גם <math>a^{-1}</math> אלגברי.
'''מסקנה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות. נסמן ב-<math>A</math> את כל האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>F</math>. אזי <math>A</math> שדה. למעשה, <math>A</math> הוא תת השדה הגדול ביותר של <math>K</math> שאלגברי מעל <math>F</math>.
