שינויים
'''הגדרה:''' נניח ש-<math>L</math> שדה ו-<math>F,K</math> תת שדות של <math>L</math>. הקומפוזיטום של <math>F,K</math> הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F,K</math>. הוא יסומן ב-<math>FK</math>.
== איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים ==
'''הגדרה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. האיבר <math>a</math> נקרא אלגברי מעל <math>F</math> אם קיים פולינום <math>f(x)\neq 0</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. אם לא קיים פולינום כזה, <math>a</math> נקרא טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>.
'''מסקנה:''' אם <math>K/F</math> הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר <math>[K:F]<\infty</math> היא הרחבה אלגברית.
== תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו ==
'''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות, <math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math> ו-<math>F\subseteq K\subseteq L</math>. הוכיחו כי הקומפוזיטום של <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> ו-<math>K</math> הוא <math>K[a_1,\ldots,a_n]</math>.
== איברים אלגבריים - מבט מעמיק ==
'''מסקנה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ויהי <math>A</math> שדה האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>F</math>. יהי <math>A'</math> שדה האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>A</math>. אזי <math>A=A'</math>.
== שדות סגורים אלגברית ==
'''הגדרה:''' שדה <math>F</math> נקרא סגור אלגברית אם לכל <math>f(x)\in F[x]</math> ממעלה 1 או יותר קיים <math>a\in F</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. (כלומר, לכל פולינום ממעלה 1 או יותר מעל <math>F</math> יש שורש ב-<math>F</math>.)
'''טענה:''' יהי <math>F</math> שדה. אזי התנאים הבאים שקולים:
* <math>F</math> סגור אלגברית
* ל-<math>F</math> אין אף הרחבה אלגברית חוץ מ-<math>F/F</math> (ההרחבה הטריוויאלית).
* כל פולינום ממעלה 1 או יותר מעל <math>F</math> מתפרק לגורמים לינאריים.
'''הוכחה:''' תרגיל.
'''דוגמא:''' המשפט היסודי של האלגברה אומר ששדה המספרים המרוכבים, <math>\mathbb{C}</math>, הוא סגור אלגברית.
'''משפט:''' לכל <math>F</math> קיים שדה <math>K\supseteq F</math> כך ש-<math>K/F</math> הרחבה אלגברית ו-<math>K</math> סגור אלגברית. השדה <math>K</math> יחיד עד כדי איזומורפיזם של שדות.
'''סימון:''' את השדה <math>K</math> מהמשפט האחרון נהוג לסמן ב-<math>\overline{F}</math>. שדה זה נקרא ה'''סגור האלגברי של <math>F</math>'''.
== עוד תרגילים ==
'''תרגיל:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ונניח ש-<math>K</math> סגור אלגברית. יהי <math>A</math> שדה האיברים האלגבריים מעל <math>F</math> ב-<math>K</math>. הוכיחו כי <math>A</math> הוא הסגור האלגברי של <math>F</math>.
'''תרגיל:''' האם <math>\mathbb{R}</math> סגור אלגברית? מדוע?
'''תרגיל:''' יהי <math>F</math> שדה אינסופי. הוכיחו שהעוצמה של <math>\overline{F}</math> שווה לעוצמה של <math>F</math>.
