שינויים
/* תרגיל 4.3 */
אני לא כל כך מבין איך למצוא את המטריצה המשולשית העליונה הדומה - מישהו יכול לעזור?
===תשובה===
בוא ננסה ביחד, ותסביר באיזה שלב אתה לא מצליח. נניח A מטריצה ריבועית, רוצים לשלש אותה:
* מוצאים את הע"ע של המטריצה
*לוקחים ערך עצמי <math>\lambda_1</math> עם ריבוי אלגברי מקסימלי (במילים פשוטות, שורש של הפולינום האופייני שהחזקה שלו בפולינום היא מקסימלית). למשל, 2 אם הפולינום האופייני היה <math>f_A=(\lambda-2)^2(\lambda-1)</math>.
*לוקחים בסיס למרחב העצמי של <math>\lambda_1</math>, כלומר הוקטורים העצמיים ש<math>\lambda_1</math> הוא הע"ע שלהם. נניח הבסיס הוא <math>v_1,v_2,...,v_k</math>. משלימים את הבסיס הזה לבסיס למרחב <math>v_1,v_2,...,v_n</math>.
*יוצרים מטריצה M שעמודותיה הן הוקטורים <math>v_1,v_2,...,v_n</math>.
*<math>M^{-1}AM</math> היא מטריצה שיש לה אפסים מתחת לאלכסון הראשי בk העמודות הראשונות.
*לוקחים את המטריצה ללא k השורות והעמודות הראשונות, ומקבלים מטריצה מסדר n-k על n-k. נקרא לה <math>A_{n-k}</math>
*מוצאים מטריצה <math>M_{n-k}</math> באותו אופן (מוצאים בסיס למרחב עצמי של <math>A_{n-k}</math>, משלימים לבסיס של המרחב) , ומשלימים אותה למטריצה מגודל n על n באופן הבא <math>M_1=\begin{bmatrix}I_{k} & 0 \\ 0 & M_{n-k}\end{bmatrix}</math>
* מסתכלים על <math>M_1^{-1}M^{-1}AMM_1</math>. למטריצה הזו יש אפסים מתחת לאלכסון הראשי בk+mהעמודות הראשונות, כאשר m הוא המימד של המרחב העצמי בשלב השני.
*ממשיכים בתהליך עד שמקבלים מטריצה משולשית.
