שינויים
/* הודעות */
זהו בדיוק הפתרון הכללי של המערכת <math>(\vec{y})</math>. אם היה נתון תנאי התחלה היינו צריכים למצוא את הקבועים החופשיים.
--[[משתמש:Michael|Michael]] 01:49, 27 בדצמבר 2011 (IST)
----
לגבי סוף התרגול היום: עסקנו במשוואה <math>4xy''+2y'+y=0</math>. המשוואה האינדנציאלית נתנה לנו שני ערכים מותרים עבור <math>\alpha</math>: <math>\alpha_{1,2}=0,\frac{1}{2}</math> הגענו לפתרון אחד כאשר לקחנו <math>\alpha=0</math>:
<math>y_1=a_0 \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n}{2n!} x^n}</math>
אמרנו שאם מדובר בתחום שבו x>0 ניתן לרשום אותו בצורה:
<math>y_1=a_0 \cos{\sqrt{x}}</math>
נגיע עכשי לפתרון השני, ניקח הפעם את <math>\alpha=\frac{1}{2}</math>. הרקורסיה שלנו היא
<math>a_{n+1}=\frac{-a_n}{2(n+\frac{3}{2})(2n+2)}=\frac{-a_n}{(2n+2)(2n+3)}</math>
נמצא קצת מהמקדמים:
<math>a_1=\frac{-a_0}{2*3}</math>
<math>a_2=\frac{-a_1}{4*3}=\frac{a_0}{5*4*3*2}</math>
<math>a_3=\frac{-a_2}{7*6}=\frac{-a_0}{7!}</math>
כבר ניתן לנחש:
<math>a_n=\frac{a_0 (-1)^n}{(2n+1)!}</math>
אם כך, נקבל פתרון שני:
<math>y_2=x^\alpha \sum_{n=0}^\infty {a_n x^n}=x^\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty {\frac{a_0 (-1)^n}{(2n+1)!} x^n}=\sum_{n=0}^\infty {\frac{a_0 (-1)^n}{(2n+1)!} x^{n+\frac{1}{2}}}</math>
אם x חיובי נוכל לרשום אותו בצורה:
<math>y_2=\sum_{n=0}^\infty {\frac{a_0 (-1)^n}{(2n+1)!} \sqrt{x}^{2n+1}}=a_0 \sin{\sqrt{x}}</math>
הפתרון הכללי יהיה צירוף לינארי שלהם:
<math>y=c_1 y_1+c_2 y_2=C_1 \sum_{n=0}^\infty {\frac{(-1)^n}{(2n)!} x^n}+C_2 \sum_{n=0}^\infty {\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{n+\frac{1}{2}}}</math>
כאשר הקבועים הגדולים בלעו את <math>a_0</math>
--[[משתמש:Michael|Michael]] 01:37, 3 בינואר 2012 (IST)
