שינויים

ידוע שמטריצות הן דומות <=> אם ורק אם יש להן אותה צורת ז'ורדן שלהן זהה(עד כדי סדר הבלוקים). נראה שתי המטריצות בשאלה כבר נתונות כסכום של A,B יש צורת בלוקי ז'ורדן שונה, ולכן הן אינן דומות:

 נז'רדן את <math>A</math>: <math>A=\begin{pmatrix}

\end{pmatrix}</math>= \left(\begin{array}{cc} נמצא פ"א:  <math>p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrixarray}x {cc} 0 & -1 &\\ 0 & 0\\ 0end{array} & x &0 &0 \\ begin{array}{cc} 0 & 0 & x&-1 \\ 0& 0 &0 &x \\\end{vmatrixarray}=x^4</math>\\\\שכן דטר' של מטר' משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי. כעת, <math>A^2=0</math> ולכן <math>A</math> נילפוטנטית מסדר 2, והפ"מ שלה הוא <math>m_A(x)=x^2</math>. דרגת המטריצה היא 2 (מס' השורות הלא אפסיות, אחרי שמחליפים שורות והיא הופכת למטריצת מדרגות), והיא נילפוטנטית, ולכן <math>n-rank(A)=4-2=2</math> הוא מס' הבלוקים בצורת ז'ורדן. לכן צורת ז'ורדן של <math>A</math> היא  <math>\begin{pmatrixarray}J_2 {cc} 0 & 0 \\ 0 & J_20\end{pmatrixarray}=& \begin{pmatrixarray}{cc}0 &1 &0 &0 \\ 0& 0 & 0 &0 \end{array}\ end{array}\right) = \begin{pmatrix} J_2(0 ) & 0 & 0 &1\\ 0 & J_2(0 & 0 &0)\end{pmatrix}</math>.= J_2(0) \oplus J_2(0),  כעת נז'רדן את <math>B</math>: 

\end{pmatrix}</math> נמצא פ"א: <math>p_B(x)=|xI-B|=\left(\begin{vmatrixarray}x & -1 &0 & 0\\ 0& x &-1 &0 \\ 0 & 0 & x&0 \\ 0& 0 &0 &x \\\end{vmatrixcc}=x^4</math> כעת נמצא את אינדקס הנילפוטנטיות של B, ובכך גם את הפ"מ שלה:  <math>B^2=\begin{pmatrixarray}{ccc}0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &1 &0 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0& 0 &0 &0 \\\end{pmatrixarray}^2=& \begin{pmatrixarray}{c}0 & 0 &1 & 0\\ 0& 0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0& 0 &0 &0 \\\end{pmatrixarray}\neq 0_{4 \times 4}</math>\\ואילו <math>B^3=\begin{pmatrixarray}{ccc}0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &1 &0 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0& 0 &0 &0 \\\end{pmatrixarray}^3=\begin{pmatrix}0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &1 &0 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0& 0 &0 &0 \\\end{pmatrixarray}\cdot right) = \begin{pmatrix}J_3(0 & 0 &1 ) & 0\\ 0& J_1(0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0& 0 &0 &0 \\)\end{pmatrix}=0_{4 J_3(0) \times 4}oplus J_1(0),

מש"ל סעיף א'נימוק אחר: חישוב ישיר מראה ש-<math>\ A^2 = 0</math> בעוד ש-<math>\ B^2 \neq 0</math>. לכן הן אינן יכולות להיות דומות.