שינויים

א) נניח ש<math>\sum^{\infty } b_n</math> מתכנס. נפעיל את מבחן העיבוי -לכן <math>\sum^{\infty } 2^nb_{2^n}</math> מתכנס, ולפי התנאי ההכרחי זה גורר ש <math>2^nb_{2^n}\rightarrow 0</math>.

הטור <math>\sum b_n</math> מתכנס (טור גיאומטרי עם אפסים שלא משפיעים), אבל בכל זאת <math>nb_n=1,1,0,1,0,0,0,1...</math> אינו מתכנס שכן יש לו תת סדרה ששווה 1 ובפרט שואפת לאחת (וידוע שאם סדרה מתכנסת לגבול אז גם כל תת סדרה שלה מתכנסת אליו).

הטור מתבדר לפי התנאי ההכרחי. (כי <math>\lim_{n \to \infty }a_n=0\leftrightarrow \lim_{n \to \infty }(-1)^na_n=0</math>)

הטור כפול -1 מתכנס בתנאי לפי משפט לייבניץ, ולכן הטור שלנו מתכנס בתנאי אף הוא (כפל בקבוע לא משנה להתכנסות). (הכפלתי משום שהטור עולה במקום יורד, ואנחנו ניסחנו את לייבניץ עבור סדרה יורדת)

ב) נגזור: <math>(x^{\frac{1}{3}})'=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}</math>.

בקטע <math>[-1,1]</math> הפונקצייה היא רציפה בקטע סגור ולכן רבמ"ש לפי משפט קנטור.

נשתמש במשפט הנ"ל פעמיים, ונקבל שהפונ' רבמ"ש באיחוד הקטעים, שהוא <math>\mathbb{R}</math>.

4)א) הפונ' הנתונה <math>\frac{cosx-1}{|cosx-1|}</math> היא רציפה כהרכבת רציפות בדיוק בכל הנקודות שבהן המכנה שונה מ0, כלומר בכל <math>x\neq 2\pi n</math>. נבדוק את סוגי האי-רציפות בנקודות שהן כן מהצורה <math> 2\pi n</math>:

<math>\leftarrow x=\pi n</math> מין שני.

5)א) אקסיומת השלמות: תהי <math>A\subset \mathbb{R}</math>. אם <math>A \neq \varnothing </math> וגם <math>A</math> חסומה מלעיל, אזי יש ל<math>A</math> חסם עליון.

תהיינה <math>f,g</math> פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של נקודה a. אם <math>\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=0</math> והגבול <math>\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math> קיים, אז גם הגבול <math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}</math> קיים, ושווה לו.

6)א) סתם טכני, תשובה זוועתית. (מיותר לכתוב פתרון כשוולפראם אלפא עושה את העבודה השחורה)

<math>=x^{e^{x^{e}}-1}e^{x^e}\cdot(x^elnx\cdot e+1)=x^{e^{x^{e}}-1}e^{x^e}\cdot(x^elnx^e+1)</math>

7)א)הוכחנו בכיתה.

0 &x=0

\end{matrix}\right.</math>:

8)הטענה שגוייה- עשינו בתרגול.