שינויים
/* הגדרה */
:4. נתון קטע באורך 1, יש לבנות משולש שווה צלעות עם אורך צלע 1.
== הגדרה ותכונות ==
קיימות מספר הגדרות שקולות למספרים ברי בנייה: * מספר ממשי חיובי <math>r>\geq 0</math> נקרא בר בנייה אם, בהינתן קטעבאורך 1, ניתן לבנות קטע באורך <math>r</math>.* מספר מרוכב <math>c=a+ib</math> (כאשר <math>a,b\in \mathbb{R}</math>) נקרא בר בנייה אם בהינתן הנקודות <math>(0,0),(0,1)</math> במישור <math>\mathbb{R}^2</math> ניתן לבנות את <math>(a,b)</math>.* מספר מרוכב <math>c=a+ib</math> (כאשר <math>a,b\in \mathbb{R}</math>) נקרא בר בנייה אם <math>|a|,|b|</math> ברי בנייה. '''תרגיל:''' הוכיחו ישירות ש-<math>\sqrt{2},\sqrt{5}</math> ברי בנייה. ניתן גיאומטרית שכל מספר רציונלי הוא בר בנייה. יותר מכך, לכל <math>a,b</math> ברי בנייה מתקיים שגם <math>ab,a+b,a-b,a/b,\sqrt{a}</math> ברי בנייה. לכן, אוסף המספרים ברי הבניה הוא תת שדה של <math>\mathbb{C}</math> ושדה זה סגור תחת הוצאת שורש ריבועי ותחת צמוד מרוכב. '''משפט:''' התנאים הבאים שקולים עבור <math>a\in \mathbb{C}</math>::א. <math>a</math> בר בנייה.:ב. קיים ''מגדל שדות'' <math>\mathbb{Q}=L_0\subseteq L_1\subseteq\dots\subseteq L_r</math> כך ש-<math>a\in L_r</math> וגם <math>[L_i:L_{i=1}]=2</math> לכל <math>0<i\leq r</math>.:ג. קיימת הרחבת גלואה <math>L/\mathbb{Q}</math> כך ש-<math>a\in L</math> וגם <math>[L:\mathbb{Q}]</math> חזקת 2.:ד. סגור גלואה של <math>\mathbb{Q}[a]/\mathbb{Q}</math> הוא ממימד <math>2^n</math> מעל <math>\mathbb{Q}</math>. '''הערה:''' הדעות חלוקות לגבי מה הוכחתם בהרצאה. בטוח הוכחתם ש-א שקול ל-ב. בתרגילי הבית הוכחתם ש-ב שקול ל-ג. העובדה ש-ג שקול ל-ד היא תרגיל טריוויאלי למדי. '''דוגמא:''' <math>\sqrt{\sqrt{2}-\sqrt{3}}</math> הוא בר בנייה כי <math>\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}[\sqrt{2}]\subseteq\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}]\subseteq \mathbb{Q}[\sqrt{\sqrt{2}-\sqrt{3}}]</math> הוא מגדל שדות המקיים את תנאי המשפט ב-ב. (כמובן שהרבה יותר קל להוכיח את זה עם העובדה שאוסף המספרים ברי הבנייה הוא שדה שסגור להוצאת שורש...)
