שינויים
/* שאלה */
למה מודול מעל F[x]/<x^3> הוא מ"ו + אופרטור T כך שT^3=0? איבר כללי שם הוא מהצורה a+bx+cx^2, אך מה קורה עם T^3 של האיבר החופשי (a)? למה זה מתאפס?
:כי להפעיל את T זה כמו להכפיל בx
::חשוב לזכור שדורשים לא רק ש-T^3=0 אלא גם ש-T תתחלף עם העתקות הכפל בסקלרים מן השדה F. זאת מפני שהבניה של חוג הפולינומים מניחה ש-x מרכזי (בניגוד למקרה של פולינומים מוכללים, ששם לא מניחים זאת). הערה: כשחוג הבסיס הוא השלמים (ומוסיפים לו x), אין צורך לדרוש זאת, כי זה ממילא מתקיים מהגדרת הפעולה של חוג על מודול.:::תמיד כשמדובר על אופרטור T מעל מ"ו (בכל הנוגע למודולים) זה הכפלה בX?::::השאלה היא: מהי הכפלה ב-x? כלומר, נניח שנתון מודול מעל שדה (כלומר מרחב וקטורי). באופן אוטומטי, כל תת חוג של השדה פועל על המודול הזה. אבל מה קורה כשמעוניינים לעבור לחוג גדול יותר? רעיונית, אנחנו הולכים להרחיב את החוג, ובאינטראקציה שבין החוג למודול - להוסיף סקלרים. כלומר, צריכים להסביר למודול, שמכיר עד כה רק איך הסקלרים מהשדה המקורי F פועלים עליו, איך האברים החדשים פועלים עליו (למשל - x). במקרה זה צריכים 'לגלות' פעולות על המודול (כאן - אופרטורים לינאריים במרחב וקטורי) שתשמשנה כאינטרפרטציות לפעולות של האברים החדשים. מובן שהן צריכות לכבד את היחסים וההגבלות שנתונים בהם האברים הללו. בדוגמה שהובאה למעלה, היחס הוא x^3=0, כלומר, הפרשנות של פעולת x על המודול תהיה העתקה לינארית (כפעולה על מודול) המצייתת ליחס הזה.::::כך גם בכיוון ההפוך. אם נתון לי מודול מעל [F[x מודולו x^3, אני יודע כי הסקלר x פועל כהעתקה לינארית T מהמודול לעצמו הכבולה להגבלה: T^3=0.::::דוגמה: נתון מרחב וקטורי מעל הממשיים. מתי הוא מרחב וקטורי מעל המרוכבים? מבחינת המבנה, המרוכבים אינם אלא חוג הפולינומים מעל הממשיים מודולו x^2+1, כלומר, מרחב וקטורי מעל הממשיים הופך למרחב וקטורי מעל המרוכבים אם ורק אם קיים אופרטור לינארי עליו המתחלף עם פעולת הכפל במספרים ממשיים, כך ש-T^2=-id. אופרטור זה הינו הפרשנות שלנו למספר i, שאותו 'גילינו' כשהרחבנו את השדה המקורי.
