משתמש:איתמר שטיין: הבדלים בין גרסאות בדף
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| שורה 2: | שורה 2: | ||
הוכחה לטענה ש <math>A</math> הפיכה <math>\Leftrightarrow</math> ניתן להציג את <math>A</math> כמכפלת מטריצות אלמנטריות. | |||
שלב א': | |||
כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה ומתקיים | |||
<math>(\rho_{i,j})^{-1} = \rho_{i,j}</math> | |||
<math>(\rho_{k\cdot i})^{-1} = \rho_{{\frac{1}{k}}\cdot i}</math> | |||
<math>(\rho_{i+k\cdot j})^{-1} = \rho_{i-k\cdot j}</math> | |||
שלב ב': הוכחת <math>\Rightarrow</math>. | |||
אם <math>A</math> היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות אז היא מכפלה של מטריצות הפיכות ולכן הפיכה. | |||
שלב ג': מטריצה <math>C</math> בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה. | |||
כי לכל מטריצה <math>B</math> שהיא (נניח ש <math>i</math> היא שורת האפסים) | |||
מתקיים לפי כפל שורה שורה <math>R_i(AB)=R_i(A)B=0 \neq R_i(I)</math>. | |||
שלב ד': נתחיל להוכיח את <math>\Leftarrow</math>. | |||
אם <math>A</math> הפיכה, הצורה המדורגת קנונית שלה היא <math>I</math>. | |||
הסבר: נסמן את הצורה המדורגת קנונית של <math>A</math> ב <math>P</math>. | |||
קיימות מטריצות אלמנטריות <math>E_1,\ldots ,E_k</math> כך ש | |||
<math>E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = P</math>. | |||
<math>P</math> הפיכה כי היא מכפלה של מטריצות הפיכות. | |||
אבל לצורה מדורגת של מטריצה ריבועית יש רק 2 אפשרויות. או שהיא <math>I</math> או שיש בה שורת אפסים. | |||
לכן <math>P=I</math>. (מטריצה בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה). | |||
שלב ה: סיום | |||
נותר רק לכפול משמאל את | |||
<math>E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = I</math>. | |||
ב <math>(E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1} </math>. | |||
ולקבל | |||
<math>A = (E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1}</math> | |||
היות והופכי של מטריצה אלמנטרית הוא גם מטריצה אלמנטרית. | |||
קיבלנו ש<math>A</math> היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:44, 27 באוגוסט 2012 (IDT) | |||
גרסה מ־17:44, 27 באוגוסט 2012
הוכחה לטענה ש [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] ניתן להציג את [math]\displaystyle{ A }[/math] כמכפלת מטריצות אלמנטריות.
שלב א':
כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה ומתקיים
[math]\displaystyle{ (\rho_{i,j})^{-1} = \rho_{i,j} }[/math]
[math]\displaystyle{ (\rho_{k\cdot i})^{-1} = \rho_{{\frac{1}{k}}\cdot i} }[/math]
[math]\displaystyle{ (\rho_{i+k\cdot j})^{-1} = \rho_{i-k\cdot j} }[/math]
שלב ב': הוכחת [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math].
אם [math]\displaystyle{ A }[/math] היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות אז היא מכפלה של מטריצות הפיכות ולכן הפיכה.
שלב ג': מטריצה [math]\displaystyle{ C }[/math] בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה. כי לכל מטריצה [math]\displaystyle{ B }[/math] שהיא (נניח ש [math]\displaystyle{ i }[/math] היא שורת האפסים)
מתקיים לפי כפל שורה שורה [math]\displaystyle{ R_i(AB)=R_i(A)B=0 \neq R_i(I) }[/math].
שלב ד': נתחיל להוכיח את [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math].
אם [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה, הצורה המדורגת קנונית שלה היא [math]\displaystyle{ I }[/math].
הסבר: נסמן את הצורה המדורגת קנונית של [math]\displaystyle{ A }[/math] ב [math]\displaystyle{ P }[/math].
קיימות מטריצות אלמנטריות [math]\displaystyle{ E_1,\ldots ,E_k }[/math] כך ש
[math]\displaystyle{ E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = P }[/math].
[math]\displaystyle{ P }[/math] הפיכה כי היא מכפלה של מטריצות הפיכות.
אבל לצורה מדורגת של מטריצה ריבועית יש רק 2 אפשרויות. או שהיא [math]\displaystyle{ I }[/math] או שיש בה שורת אפסים.
לכן [math]\displaystyle{ P=I }[/math]. (מטריצה בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה).
שלב ה: סיום
נותר רק לכפול משמאל את
[math]\displaystyle{ E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = I }[/math].
ב [math]\displaystyle{ (E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1} }[/math].
ולקבל
[math]\displaystyle{ A = (E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1} }[/math]
היות והופכי של מטריצה אלמנטרית הוא גם מטריצה אלמנטרית.
קיבלנו ש[math]\displaystyle{ A }[/math] היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות.--איתמר שטיין 20:44, 27 באוגוסט 2012 (IDT)