פולינום מינימלי: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== תהי A מטריצה ריבועית. אזי הפולינום המינימלי של A, מסומן <math>m_A(x)</math> הוא הפולינום המת...")
 
אין תקציר עריכה
שורה 11: שורה 11:


*לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה.
*לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה.
==תרגילים==
===א===
הוכח כי למטריצות דומות אותו פולינום מינימלי
'''הוכחה.'''
ראשית נשים לב לעובדה הבאה- יהי פולינום f ותהיינה מטריצות דומות A,B אזי גם המטריצות <math>f(A),f(B)</math> דומות.
אכן, נסמן <math>f(x)=a_nx^n+...+a_0</math> ונסמן <math>A=P^{-1}BP</math>. לכן:
מסקנה: נניח A,B מטריצות דומות, אזי לכל פולינום f מתקיים <math>f(A)=0</math> אם"ם <math>f(B)=0</math>.
אכן, המטריצה היחידה הדומה למטריצת האפס הינה מטריצת האפס עצמה. כיוון ש<math>f(A),f(B)</math> דומות, המסקנה נובעת.
בסה"כ, כיוון שהפולינומים המאפסים מטריצות דומות הם אותם פולינומים, בפרט המינימלי המתוקן מבינהם הוא אותו אחד.
===ב===
::<math>f(A)=f(P^{-1}BP)=a_n(P^{-1}BP)^n+...+a_0I = a_nP^{-1}B^nP+...+a_0P^{-1}P = P^{-1}f(B)P</math>
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

גרסה מ־07:02, 13 בנובמבר 2012

הגדרה

תהי A מטריצה ריבועית. אזי הפולינום המינימלי של A, מסומן [math]\displaystyle{ m_A(x) }[/math] הוא הפולינום המתוקן מהדרגה הנמוכה ביותר המקיים

[math]\displaystyle{ m_A(A)=0 }[/math]

הערה: פולינום מתוקן הינו פולינום מהצורה [math]\displaystyle{ x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 }[/math], כלומר המקדם של המונום בעל החזקה הגבוהה ביותר הינו אחד.


תכונות

  • לכל פולינום f כך ש [math]\displaystyle{ f(A)=0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ m_A(x)|f(x) }[/math]. בפרט ממשפט קיילי-המילטון נובע כי הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני
  • לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה.

תרגילים

א

הוכח כי למטריצות דומות אותו פולינום מינימלי


הוכחה.

ראשית נשים לב לעובדה הבאה- יהי פולינום f ותהיינה מטריצות דומות A,B אזי גם המטריצות [math]\displaystyle{ f(A),f(B) }[/math] דומות.

אכן, נסמן [math]\displaystyle{ f(x)=a_nx^n+...+a_0 }[/math] ונסמן [math]\displaystyle{ A=P^{-1}BP }[/math]. לכן:


מסקנה: נניח A,B מטריצות דומות, אזי לכל פולינום f מתקיים [math]\displaystyle{ f(A)=0 }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ f(B)=0 }[/math].

אכן, המטריצה היחידה הדומה למטריצת האפס הינה מטריצת האפס עצמה. כיוון ש[math]\displaystyle{ f(A),f(B) }[/math] דומות, המסקנה נובעת.


בסה"כ, כיוון שהפולינומים המאפסים מטריצות דומות הם אותם פולינומים, בפרט המינימלי המתוקן מבינהם הוא אותו אחד.

ב

[math]\displaystyle{ f(A)=f(P^{-1}BP)=a_n(P^{-1}BP)^n+...+a_0I = a_nP^{-1}B^nP+...+a_0P^{-1}P = P^{-1}f(B)P }[/math]