שינויים
/* דוגמאות לחבורות מנה וחבורות נורמליות */
== דוגמאות לחבורות מנה וחבורות נורמליות ==
'''הגדרה:''' לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו <math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G gh=hg \}</math>.
'''משפט:''' <math>Z(G)</math> הוא תת-חבורה נורמלית של <math>G</math>.
'''תרגיל:''' הוכח G אבלית <math>G/Z(G) \Leftrightarrow</math> ציקלית.
'''פתרון''' <math>\Leftarrow</math> ברור.
<math>\Rightarrow</math>. נניח ש <math>G/Z(G)</math> ציקלית. אזי, קיים <math>a \in G</math> כך ש <math>Z/Z(G)=<aZ(G)> </math>.
קוסטים מהווים חלוקה של <math>G</math> לכן מתקיים <math>G=\cap_{n\in\mathbb{Z} }a^{n}Z(G)</math>. יהיו <math>g,h\in G</math>. אזי קיימים <math>k,m</math> כך ש <math>g\in a^{k}Z(G), h\in a^{m}Z(G)</math>. כלמר, <math>g=a^{k}z_1,h=z^{m}z_2,z_1,z_2\in Z(G)</math>.
אזי מתקיים: <math>gh=a^{k}z_1a^{m}z_2=a^{m+k}z_1z_2=a^{m}a^{k}z_2z_1=a^{m}z_2a^{k}z_1=hg</math>.
