משתמש:איתמר שטיין

• הסבר על חישוב הופכי ב [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math]

שאלה 1

• סעיף ב

ידוע כי [math]\displaystyle{ \liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)\gt 0 }[/math]

נניח ש

[math]\displaystyle{ \liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)=c\gt 0 }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ b_n=a_n\cdot n }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ \liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c\gt 0 }[/math]

טענת עזר: קיים [math]\displaystyle{ N }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] אז [math]\displaystyle{ b_n\gt \frac{c}{2} }[/math]

(במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב [math]\displaystyle{ b_n }[/math] שיותר קטנים מ [math]\displaystyle{ \frac{c}{2} }[/math])

הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ [math]\displaystyle{ b_n }[/math] שעבורם [math]\displaystyle{ b_n\leq \frac{c}{2} }[/math]

אז קיימת תת סדרה [math]\displaystyle{ b_{n_k} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ b_{n_k}\leq \frac{c}{2} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k\in \mathbb{N} }[/math]

נשים לב ש [math]\displaystyle{ b_n }[/math] היא חסומה מלרע ולכן [math]\displaystyle{ b_{n_k} }[/math] חסומה גם מלעיל וגם מלרע.

לכן ל [math]\displaystyle{ b_{n_k} }[/math] יש תת סדרה מתכנסת [math]\displaystyle{ b_{n_{k_l}} }[/math] כך ש

[math]\displaystyle{ \lim_{l\rightarrow\infty}b_{n_{k_l}}\leq \frac {c}{2} }[/math]

וזאת בסתירה לכך ש [math]\displaystyle{ \liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c\gt \frac{c}{2} }[/math]

זה מוכיח את טענת העזר.

כעת, אנחנו יודעים שהחל מ [math]\displaystyle{ N\in \mathbb{N} }[/math] כלשהוא מתקיים

[math]\displaystyle{ b_n\gt \frac{c}{2} }[/math]

אבל בגלל ש [math]\displaystyle{ b_n=a_n\cdot n }[/math] זה אומר שהחל מאותו [math]\displaystyle{ N\in \mathbb{N} }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ a_n \gt \frac{c}{2} \frac{1}{n} }[/math]

בגלל שהטור [math]\displaystyle{ \ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} }[/math] מתבדר

נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור [math]\displaystyle{ \ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתבדר.

שאלה 2

סעיף א

טענת עזר: אם [math]\displaystyle{ A,B }[/math] קבוצות חסומות מלעיל אז

[math]\displaystyle{ \sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B) }[/math]

הוכחה: נוכיח שהמספר [math]\displaystyle{ \sup(A)+\sup(B) }[/math] מקיים את התכונות של [math]\displaystyle{ \sup(A+B) }[/math]