משתמש:איתמר שטיין: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה מ־11:56, 28 בינואר 2013

הסבר על חישוב הופכי ב [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math]

שאלה 2

סעיף א

טענת עזר: אם [math]\displaystyle{ A,B }[/math] קבוצות חסומות מלעיל אז

[math]\displaystyle{ \sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B) }[/math]

הוכחה: נוכיח שהמספר [math]\displaystyle{ \sup(A)+\sup(B) }[/math] מקיים את התכונות של [math]\displaystyle{ \sup(A+B) }[/math]

תכונה א': חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A+B }[/math]. הוכחה:

אם [math]\displaystyle{ x\in A+B }[/math] אז ניתן לכתוב [math]\displaystyle{ x=a+b }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a\in A, b\in B }[/math].

היות ו [math]\displaystyle{ a\leq \sup(A) }[/math] ו [math]\displaystyle{ b\leq \sup(B) }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ x=a+b\leq \sup(A)+\sup(B) }[/math]

תכונה ב': החסם המלעיל הכי קטן. הוכחה:

יהי [math]\displaystyle{ y }[/math] איזשהוא חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A+B }[/math]

נניח בשלילה ש [math]\displaystyle{ y\lt \sup(A)+\sup(B) }[/math]

אז נקבל ש [math]\displaystyle{ y-\sup(B)\lt \sup(A) }[/math]

ולכן קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ y-\sup(B)\lt a }[/math]

מכאן נקבל [math]\displaystyle{ y-a\lt \sup(B) }[/math]

ולכן קיים [math]\displaystyle{ b\in B }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ y-a\lt b }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ y\lt a+b\in A+B }[/math]

בסתירה לכך ש [math]\displaystyle{ y }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A+B }[/math]

לכן בהכרח מתקיים [math]\displaystyle{ \sup(A)+\sup(B)\leq y }[/math]

לסיכום: הוכחנו שהמספר [math]\displaystyle{ \sup(A)+\sup(B) }[/math] מקיים את שתי התכונות של חסם עליון

ולכן [math]\displaystyle{ \sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B) }[/math]. מש"ל טענת עזר.

עכשיו קל להוכיח את הדרוש:

[math]\displaystyle{ \sup(A+B+C)=\sup(A+B)+\sup(C)=\sup(A)+\sup(B)+\sup(C) }[/math]

מש"ל.

סעיף ב

הפרכה פשוטה, ניקח [math]\displaystyle{ a_n=-\frac{1}{n} }[/math] ו [math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{n} }[/math]

מתקיים שלכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] [math]\displaystyle{ a_n\lt b_n }[/math] (ולכן בוודאי שזה מקיים כמעט לכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math]).

אבל

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=0 }[/math]

שתי הערות: א) כמעט לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] פירושו: לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] פרט למספר סופי של מקרים.

אן לחילופין: קיים [math]\displaystyle{ N\in \mathbb{N} }[/math] כך שהטענה מתקיימת לכל [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math].

ב) כמובן שהטענה הבאה נכונה

אם [math]\displaystyle{ a_n\leq b_n }[/math] ו

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a,\quad \lim_{n\rightarrow \infty}b_n=b }[/math]

אז

[math]\displaystyle{ a\leq b }[/math].

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 *[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]]
-==שאלה 1==
-===סעיף ב===
-ידוע כי
-<math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)>0</math>
-נניח ש
-<math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)=c>0</math>
-נסמן <math>b_n=a_n\cdot n</math>
-כלומר
-<math>\liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c>0</math>
-טענת עזר: קיים <math>N</math> כך שאם <math>n>N</math> אז <math>b_n>\frac{c}{2}</math>
-(במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב <math>b_n</math> שיותר קטנים מ <math>\frac{c}{2}</math>)
-הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ <math>b_n</math> שעבורם <math>b_n\leq \frac{c}{2}</math>
-אז קיימת תת סדרה <math>b_{n_k}</math> כך ש <math>b_{n_k}\leq \frac{c}{2}</math> לכל <math>k\in \mathbb{N}</math>
-נשים לב ש <math>b_n</math> היא חסומה מלרע ולכן <math>b_{n_k}</math> חסומה גם מלעיל וגם מלרע.
-לכן ל <math>b_{n_k}</math> יש תת סדרה מתכנסת <math>b_{n_{k_l}}</math> כך ש
-<math>\lim_{l\rightarrow\infty}b_{n_{k_l}}\leq \frac {c}{2}</math>
-וזאת בסתירה לכך ש <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c>\frac{c}{2}</math>
-זה מוכיח את טענת העזר.
-כעת, אנחנו יודעים שהחל מ <math>N\in \mathbb{N}</math> כלשהוא מתקיים
-<math>b_n>\frac{c}{2}</math>
-אבל בגלל ש <math>b_n=a_n\cdot n</math> זה אומר שהחל מאותו <math>N\in \mathbb{N}</math> מתקיים
-<math>a_n > \frac{c}{2} \frac{1}{n}</math>
-בגלל שהטור
-<math>\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math>
-מתבדר
-נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור <math>\ \sum_{n=1}^\infty  a_n</math> מתבדר.
 ==שאלה 2==