משתמש:איתמר שטיין: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה מ־20:22, 29 בינואר 2013

הסבר על חישוב הופכי ב [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math]

שאלה 3

שאלה 4

ראשית נשים לב שמשפט לייבניץ לא עובד כאן. כי לייבניץ דורש (בין השאר) ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] היא סדרה מונוטונית יורדת.

את הטענה ניתן להפריך.

נבחר

[math]\displaystyle{ a_n=(-1)^{n+1}\frac{1}{n} }[/math]

אזי בוודאי מתקיים

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty} a_n=0 }[/math]

אבל

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{2n+2}\frac{1}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} }[/math]

שהוא טור מתבדר.

@@ שורה 4: / שורה 4: @@
 ==שאלה 3==
-===סעיף א===
+==שאלה 4==
-<math>a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}</math>
+ראשית נשים לב שמשפט לייבניץ לא עובד כאן. כי לייבניץ דורש (בין השאר) ש <math>a_n</math> היא סדרה מונוטונית יורדת.
+את הטענה ניתן להפריך.
-נשים לב שבסכום זה יש <math>n</math> מחוברים. כאשר מספר המחוברים תלוי ב <math>n</math> אי אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות.
+נבחר
-במקרה הזה נשתמש במשפט הסנדויץ.
+<math>a_n=(-1)^{n+1}\frac{1}{n}</math>
-נגדיר:
-<math>b_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}</math>
+אזי בוודאי מתקיים
-בגלל ש <math>n^2+1<n^2+i</math> (כאשר <math>1\leq i\leq n</math>)
+<math>\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=0</math>
-ברור ש
+אבל
-<math>\frac{1}{\sqrt{n^2+i}}\leq \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} </math>
+<math>\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{2n+2}\frac{1}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}</math>
-ולכן <math>a_n\leq b_n</math>
+שהוא טור מתבדר.
-בצורה דומה נגדיר
-<math>c_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}</math>
-ויתקיים
-<math>c_n\leq a_n</math>
-<math>\lim_{n\rightarrow \infty} b_n = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}
-=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=1
-</math>
-ו
-<math>\lim_{n\rightarrow \infty} c_n = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}
-=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=1
-</math>
-לכן לפי כלל הסנדויץ
-<math>\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=1</math>