משתמש:איתמר שטיין: הבדלים בין גרסאות בדף
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף א) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←שאלה 5) |
||
| שורה 5: | שורה 5: | ||
===סעיף א=== | ===סעיף א=== | ||
דרך א' לפתרון: | |||
היות ו <math>\arctan(\frac{y}{x})</math> היא פונקציה אי זוגית לפי <math>y</math> (או <math>x</math>) והתחום שלנו סימטרי ביחס ל <math>y</math> (או <math>x</math>) אז האינטגרל הוא <math>0</math>. | |||
דרך ב', חישוב: | |||
זה די ברור שצריך להשתמש בקוארדינטות פולריות. | זה די ברור שצריך להשתמש בקוארדינטות פולריות. | ||
| שורה 21: | שורה 26: | ||
ולכן נעדיף ש <math>\theta</math> יהיה בתחום <math>[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}</math> ולא <math>[0,2\pi]</math> | ולכן נעדיף ש <math>\theta</math> יהיה בתחום <math>[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]</math> ולא <math>[0,2\pi]</math> | ||
<math>\iint\limits _K \, \arctan(\frac{y}{x}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r | <math>\iint\limits _K \, \arctan(\frac{y}{x}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r | ||
| שורה 37: | שורה 42: | ||
\int_a^b \, \frac{1}{2} \theta^2 r \mid_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}r+ | \int_a^b \, \frac{1}{2} \theta^2 r \mid_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}r+ | ||
\int_a^b \, \frac{1}{2} {(\theta-\pi)}^2 r \mid_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \mathrm{d}r | \int_a^b \, \frac{1}{2} {(\theta-\pi)}^2 r \mid_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \mathrm{d}r | ||
=0+0=0 | |||
</math> | </math> | ||
גרסה מ־16:48, 10 בפברואר 2013
שאלה 5
סעיף א
דרך א' לפתרון:
היות ו [math]\displaystyle{ \arctan(\frac{y}{x}) }[/math] היא פונקציה אי זוגית לפי [math]\displaystyle{ y }[/math] (או [math]\displaystyle{ x }[/math]) והתחום שלנו סימטרי ביחס ל [math]\displaystyle{ y }[/math] (או [math]\displaystyle{ x }[/math]) אז האינטגרל הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math].
דרך ב', חישוב:
זה די ברור שצריך להשתמש בקוארדינטות פולריות.
אם מחליפים
[math]\displaystyle{ x=r\cos\theta\quad y = r\sin\theta }[/math]
אז נקבל שהתחום החדש הוא [math]\displaystyle{ a\leq r\leq b }[/math] ו [math]\displaystyle{ 0\leq\theta \leq 2\pi }[/math]
הבעיה היחידה היא זה לא נכון להגיד ש [math]\displaystyle{ \arctan(\frac{y}{x})=\theta }[/math].
זה נכון רק כש [math]\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}\lt \theta \lt \frac{\pi}{2} }[/math]
בתחום [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2}\lt \theta \lt \frac{3\pi}{2} }[/math] מתקיים דווקא [math]\displaystyle{ \theta = \arctan(\frac{y}{x}) +\pi }[/math]
ולכן נעדיף ש [math]\displaystyle{ \theta }[/math] יהיה בתחום [math]\displaystyle{ [-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}] }[/math] ולא [math]\displaystyle{ [0,2\pi] }[/math]
[math]\displaystyle{ \iint\limits _K \, \arctan(\frac{y}{x}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+ \int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r }[/math]
[math]\displaystyle{ = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \theta r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+ \int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, (\theta -\pi) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r = \int_a^b \, \frac{1}{2} \theta^2 r \mid_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}r+ \int_a^b \, \frac{1}{2} {(\theta-\pi)}^2 r \mid_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \mathrm{d}r =0+0=0 }[/math]