שינויים

'''טענה.''' יהיו C,W קבוצות ויהיו <math>X,Y\subseteq W</math>, <math>A,B\subseteq C</math> תתי קבוצות כך ש <math>A\cap B=X\cap Y=\phi</math> וגם <math>A\cup B = C</math> וגם <math>X\cup Y = W</math>. אזי אם קיימות פונקציות חח"ע ועל <math>g:B\rightarrow Y</math>,<math>f:A\rightarrow X</math> מתקיים ש <math>|XC|=|YW|</math>

'''תרגיל.''' הוכח שעוצמת הקטע <math>[0,1]</math> זהה לעוצמת הקטע <math>[0,1)</math> '''פתרון.''' אמנם זה נובע מתכונות אחרות אשר נלמדות בהרצאה ובשיעורי הבית, אך בכל זאת נמצא פונקציה לפי נתון קיימות 2 פונקציות חח"ע בין שתי הקבוצות הללו. נגדיר ועל <math>gf_1:[0,1)A\rightarrow [0to X,1]</math> על ידי: *אם <math>\nexists n;\in\mathbb{N};f_2:x=B\frac{1}{n}to Y</math> אזי נגדיר <math>f(x)=x</math> *אחרת נגדיר <math>f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n-1}</math> למעשה, כל מספר כמעט נשלח לעצמו פרט לסדרה הבת מנייה  <math>\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...</math>  הנשלחת לסדרה  <math>\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},...</math>.  כך בעצם הוספנו את אחד לסדרה בת מנייה המוכלת בקטע. שימו לב שבכל קבוצה אינסופית קיימת תת קבוצה מעוצמת <math>\aleph_0</math>. אפשר כך להוכיח, למשל, שאוסף הממשיים ללא המספרים השלמים הזוגיים הוא מאותה עוצמה כמו אוסף הממשיים כולו. (קל להוכיח שהפונקציה שתארנו לעיל הינה חח"ע ועל.)  '''תרגיל.''' הוכח שעוצמת קטע סופי בממשיים זהה לעוצמת כל הממשיים '''הוכחה.''' קל מאד להראות שכל הקטעים הסופיים מאותה עוצמה, לכן מספיק להוכיח עבור קטע ספציפי. ניקח את הפונקציה <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> בקטע <math>(0,1]</math> התמונה שלה הינה <math>[1,\infty)</math>. למעשה סיימנו פה את החלק העיקרי בתרגיל, שכן הפכנו קטע סופי לקטע אינסופי, כל שנותר לעשות הוא להשלים את מה שבנינו לפונקציה מקטע סופי לכל הממשיים.  ניקח פונקציה g השולחת את הקטע <math>(\frac{1}{2},1]</math> לקטע <math>(0,1]</math>, על ידי <math>g(x)=2x-1</math> ומשם נעביר לקטע האינסופי על ידי f. את הקטע <math>[0,\frac{1}{2}]</math> היא שולחת לקטע <math>[0,1]</math> על ידי 2x. סה"כ הגענו לחצי הישר <math>[0,\infty)</math>. באופן דומה נשלח את <math>(-1,0)</math> לקטע <math>(-\infty,0)</math> וסה"כ קיבלנו פונקציה חח"ע ועל מקטע סופי לכל ציר הממשיים.  '''תרגיל.''' ראינו ש <math>|\mathbb{N}|=|\mathbb{N}\times\mathbb{N}|</math>. האם אותו דבר נכון גם לגבי הממשיים? '''הוכחה.''' נניח שכל איבר ממשי הוא בעצם סדרה אינסופית של ספרות ממשיות (כולל אלו שלפני ואחרי הנקודה). נפרק כל סדרה כזו לשתי תתי סדרות - סדרת הזוגיים וסדרת האי זוגיים. כל תת סדרה שכזו מגדירה מספר ממשי, לכן שלחנו מספר ממשי בודד לזוג מספרים ממשיים. העתקה זו חח"ע ועל פרט לעובדה שהממשיים הם לא '''בדיוק''' אוסף הסדרות של ספרות עשרוניות, אבל לא נתמודד כרגע עם הקושי המינורי הזה.