שינויים

'''<math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה. נגדיר <math>F:P(X)\rightarrow P(Y)</math> ע"י

'''<math>\forall A\in P(X)\ F(A)=\{f(a):a\in A\}</math>. (כלומר התמונה של כל איבר A ב <math>P(X)</math> היא קבוצת התמונות שלו ב-f: '''<math>f[A]</math>.

'''הוכח:

'''א. f חח"ע => F חח"ע,

'''ב. f על => F על.

'''פתרון:

'''א.

'''<math>F(A)=F(B)\Rightarrow \{f(a):a\in A\}=\{f(b):b\in B\}</math> (כלומר לכל איבר בשמאלית קיים איבר ששווה לו בימנית, ולהיפך).

'''לכן

'''<math>\forall a\in A\exists b\in B:f(a)=f(b)\and \forall b\in B\exists a\in A:f(a)=f(b)</math>

'''היות ו-f חח"ע

'''<math>\forall a\in A\exists b\in B:a=b \and \forall b\in B\exists a\in A:a=b</math>

'''ולכן A=B כנדרש.

'''ב.

'''היות ו-f על

'''<math>\underline{\forall C\in P(Y)}\ \forall c\in C\ \exists a\in A:f(a)=b</math>

'''כלומר, היות וכל איבר ב-Y הוא תמונה תחת f, בפרט כל איבר ב-B הוא תמונה תחת f. ולכן, המקור (תחת F) שיתן את קבוצת התמונות B היא קבוצת המקורות שלו:

'''<math>\underline{\exists A\in P(X):}A=\{a:f(a)\in B\}\ \ and\ \ therefore\ \ \underline{F(A)=}\{f(a):a\in A\}=\{f(a):f(a)\in B\}=\underline{B}</math>.