== תרגיל 7 שאלה 2 סעיף 2 ==
מראים שם מדוע החבורות <math>\mathbb{Z}_{21}</math> ו - <math>\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{7}</math> הן איזומורפיות.
אשמח להסבר מפורט על השאלות הבאות: (אין טעם להפנות אותי לתרגולים/הרצאות כי כבר קראתי שם וזה לא עוזר לי בשום אופן כאן).
1. איך מוכיחים של- <math> \mathbb{Z}_{21}</math> יש יוצר יחיד? 1 הוא יוצר...בסדר. למה אבל 1 הוא היחיד?
2. למה היוצר של :התכוונתי לומר שהקבוצה <math>\mathbb{Z}_{3}X1\mathbb{Z}_{7}</math> הוא (1היא קבוצה יוצרת. מכיוון שיש קבוצה יוצרת בת איבר יחיד,1)?החבורה הזו ציקלית. כמובן, יש עוד יוצרים לחבורה הזו.
2. למה היוצר של <math> \mathbb{Z}_{3}x\times\mathbb{Z}_{7}</math> הוא (1,1)? הרי החבורה היא <math> \mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{7}=\left \{ 0,1,2 \right \}x\times\left \{ 0,1,2,3,4,5,6 \right \}</math>. אפשר בבקשה להדגים לי איך בדיוק האיבר (0,2) למשל, נוצר ע"י (1,1)? או איך למשל האיבר (2,5) נוצר ע"י (1,1)?
אפשר בקשה להדגים לי איך בדיוק האיבר :ראשית, נראה כי (1,1) הוא יוצר: הוא איבר בחבורה מסדר 21, ולכן סדרו מחלק את 21. האפשרויות הן 1, 3, 7 ו-21. חישוב קל פוסל את שלוש האפשרויות הראשונות, ולכן הסדר הוא 21.:דרך אחרת היא לחפש פתרון למשוואה <math>n(1,1)=(a,b)</math>, לכל a ו-b מתאימים. אם נפרק את הטענה לשני הרכיבים של מכפלת החבורות <math>\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{7}</math>, ונעבור לרישום מודולו, ונקבל את שתי המשוואות להלן: <math>n\equiv b \pmod 7</math>, <math>\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{7}</math>. לפי משפט השאריות הסיני, משוואה זו פתירה.:בפרט, <math>9(1,1)=(9,9)=(0,2) למשל</math>, וכן <math>5(1,1)=(5,5)=(2,5)</math>. לסיכום, אם m ו-n זרים, אז החבורה <math>\mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n}</math> היא ציקלית, ולפי משפט השאריות הסיני, נוצר ע"י <math>(1,1)?</math> הוא יוצר שלה.
או איך למשל האיבר (2,5) נוצר ע"י 3. למה (1,1)הוא יוצר יחיד של החבורה <math>\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{7}</math>? איך מוכיחים שאין עוד?
3:התשובה לשאלה 1 יפה כוחה גם כאן. למה (1,1) הוא יוצר יחיד של החבורה <math>\mathbb{Z}_{3}X\mathbb{Z}_{7}</math>? איך מוכיחים שאין עוד?
4. האיזומורפיזם שהגדירו בתשובה לא מובן.
מה המשמעות של <math>[1]->(1,1)</math> מה זה בדיוק <math>[1]</math>? זו הקבוצה שנוצרת ע"י 1?אם כן, עדיין לא ברור לי מה זה האיזומורפיזם הזה וכיצד הוא מוגדר. איזומורפיזם אמור להיות מוגדר כך שלכל איבר ב- Z21 מותאם ערך כלשהו.
אם כן:הכוונה בסימון היא לאיבר 1 בחבורה <math>\mathbb{Z}_{21}</math>. ניתן להתעלם מהסוגריים המרובעים. הם מציינים כאן שקילות מודולו 21, עדיין לא ברור לי מה דהיינו <math>[22]=[1]</math>, אבל זה עלול לסבך יותר מאשר לעזור.:האיזומורפיזם הזה וכיצד הוא מוגדרזה שלוקח את 1 ל-<math>(1,1)</math>. איזומורפיזם אמור להיות מוגדר כך שלכל איבר במכיוון שהגדרנו אותו על קבוצת יוצרים, ניתן להרחיב העתקה זו להומומורפיזם לכל היותר באופן יחיד. במקרה שלנו, ההומומורפיזם הוא <math>f(n)=(n,n)</math>. אם לוקחים את התמונה תחת מודולו, בהתאם לרכיב, הרי שמתקבל הומומורפיזם. ניתן להראות כי הוא הפיך, לפי הטענה ש- Z21 מותאם ערך כלשהו(1,1) יוצר את <math>\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{7}</math>, ולכן זהו איזומורפיזם.חיים רוזנר 07:47, 14 בינואר 2014 (EST)
אם אפשר בבקשה הסברים מפורטים, זה יעזור המון.
