שינויים
/* משפט */
תהי <math>f:P\to \mathbb{R}</math> כך ש- <math>\exists C \forall x \in P: ||f(x)||\leq C</math>, אזי <math>f \in \mathcal{R}(P)</math> (אינטגרבילית לפי רימן) אם ורק אם
<math>\forall \epsilon>0 \exists \mathcal{P} : 0\leq \bar{S}(f,\mathcal{P})-\underline{S}(f,\mathcal{P})\leq < \epsilon</math>
כלומר לכל אפסילון קיימת חלוקה כך שההפרש בין הסכומים העליוניים לתחתוניים קטן מאפסילון.
===הוכחה===
'''משמאל לימין:'''
יהי <math>\epsilon>0</math> אזי קיימת חלוקה <math>\mathcal{P}</math> כך ש- <math> 0\leq \bar{S}(f,\mathcal{P})-\underline{S}(f,\mathcal{P})< \epsilon</math>. כלומר <math> 0\leq \bar{S}(f,\mathcal{P})<\underline{S}(f,\mathcal{P})+ \epsilon</math> ומכאן ש- <math>\bar{I}(f)=\operatorname{inf}_{\mathcal Q} \bar{S}(f, \mathcal Q) < \underline{S}(f,\mathcal{P})+ \epsilon</math>
אז <math>\bar{I}(f)-\epsilon<\underline{S}(f,\mathcal{P})\leq \operatorname{sup}_{\mathcal Q} \underline{S}(f,\mathcal{Q}) = \underline{I}(f)</math> ולכן <math>\overline{I}(f)-\underline{I}(f)<\epsilon</math> לכל אפסילון גדול מ-0. לכן <math>\overline{I}(f)-\underline{I}(f)=0</math> ואז <math>\overline{I}(f)=\underline{I}(f)</math>. אז <math>f \in \mathcal{R} (P)</math>
'''מימין לשמאל:'''
