קוד:הגדרת הגבול לפי קושי

\begin{definition} אומרים ש-$L$ הוא גבול של $f$ בנקודה $a$ אם מתקיים $$\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \forall x : \left (|x-a|<\delta \rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \right ) $$ \end{definition} שוב אנו נתקלים בהגדרת גבול שנראית מסובכת במבט ראשון, אבל העקרון העומד מאחוריה הגיוני. אנו רוצים שעבור כל מרחק מ-$L$ (זה ה- $\varepsilon $), לא חשוב כמה קטן, תהיה לנו סביבה של $a$ שבה כל הערכים (מלבד $a$, משום שהרעיון בגבול זה שלא אכפת לנו מה קורה בנקודה עצמה) מועברים ע"י $f$ למספרים שהמרחק שלהם מ-$L$ קטן מהמרחק ההתחלתי שניתן לנו.

\begin{example}

$f(x)=\begin{cases} 1 & \text{if} \ x\neq0 \\ 0& \text{if}\ x=0\end{cases} $ אז $\lim_{x\to 0} f(x)=1 $ \end{example} \begin{proof} יהי אפסילון גדול מ-$0$, במקרה הזה אפשר לבחור כל $\delta $, ניקח לדוגמה $\delta = 1 $ ואז לכל $x$ שמקיים $|x-0|<1 $ מתקיים ש- $|f(x)-1|=|1-1|=0<\varepsilon $ . \end{proof}