שינויים
כעת ננסה להבין מה היחס בין הריבויים של ע"ע, האלגברי והגיאומטרי. הכוונה - האם הם שווים, ואם לא - מי גדול יותר.
\textbfbegin{משפט:thm}
לכל $\lambda\in\mathbb{F}$ ע"ע של אופרטור לינארי $T:V\rightarrow V$, מתקיים $1\leq m_\lambda\leq k_\lambda\leq n$.
\textitend{הוכחה:thm}
נתבונן ב-$V_\lambda\left(T \right )$, ונסמן $m=m_\lambda=\dim V_\lambda\left(T \right )$. נבחר בסיס $\left \{ v_1,\dots,v_m \right \}$ של $V_\lambda\left(T \right )$. אם $m<n$, נשלים את הבסיס הזה לבסיס $B$ של $V$: $\left \{ v_1,\dots,v_m,v_{m+1},\dots,v_n \right \}$. תהי $A=\left[T\right]_B$. מתקיים:$$T\left(v_1\right)=\lambda v_1,\cdots,T\left(v_m \right )=\lambda v_m,T\left(v_m+1 \right )=?,\cdots,T\left(v_n \right )=?$$אם כן, המטריצה $A$ הינה מהצורה $$A=\left ( \begin{matrixarray}{c|c}\left.\begin{matrix}
\lambda & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & \lambda
\end{matrix}\right| & \begin{matrix}\\ A_2\\ \ \end{matrix}\\ hline\left.\begin{matrix}\ \ \, & 0 & \ \ \ \end{matrix}\right| & A_1\end{matrixarray} \right )$$
נסתכל על הפולינום האופייני של $T$:
$$p_T\left(x \right )=p_A\left(x \right )=\det\left(xI-A \right )=\det\left ( \begin{matrixarray}{c|c}\left.\begin{matrix}
x-\lambda & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & x-\lambda
\end{matrix}\right| & \begin{matrix}\\ -A_2\\ \ \end{matrix}\\ hline\left.\begin{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ & 0 & \ \ \ \ \; \, \ \ \ \end{matrix}\right| & xI-A_1\end{matrixarray} \right )=$$$$=\det\left(\begin{matrix}x-\lambda & &0 \\
& \ddots & \\
0 & &x-\lambda \end{matrix} \right )\det\left(A_1 xI-A \right )=\left(x-\lambda \right )^m\cdot gmg\left(x \right )$$
אם כן, $k_\lambda\ge m=m_\lambda$.
\underlineend{הערה:proof} \begin{remark}
יש מקרים שבהם $m_\lambda<k_\lambda$. למשל - בלוק ז'ורדן; עבור $J_n\left(\lambda\right)$, ראינו כי $m_\lambda=1$, אבל $k_\lambda=n$.
\end{remark}
בהמשך ננסה להבין מתי לכל ע"ע הריבויים שווים, ונגלה כי הם שווים אם ורק אם המטריצה לכסינה.
משתמש אלמוני
