שינויים
\underlinebegin{הגדרה:definition} אומרים שסדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ היא סדרת קושי $(\text{Cauchy }\ \text{sequence}) $ אם מתקיים התנאי: $$\forall_{\epsilon>0}\exists_N \forall_{n,m>N} : |x_n - x_m| <\epsilon $$
כלומר המרחק בין איברי הסדרה קטן באופן כזה שמאיזהשהו מקום בסדרה והלאה, מרחק בין 2 איברים (שיכולים להיות במקומות רחוקים כרצוננו אחד מהשני בסדרה) יהיה קטן כרצוננו.
\end{definition}
$\forall_{n,m>N}: |x_n-x_m|=|(x_n-L)+(L-x_m)|\leq |x_n-L| + |L-x_m| <\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon $
\underlinebegin{דוגמה:definition} $A\mathbb{Q} $ לא שלם, כיוון שאם ניקח את $ 3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,\cdots \to \pi\not\in\mathbb{Q} $ . זוהי סדרה שמתכנסת ב- $subseteq \mathbb{R}$ ולכן, מהמשפט הקודם, היא נקרא "שלם" אם כל סדרת קושי. אבל היא סדרת קושי שמורכבת מאיברים רציונאליים ולא המורכבת מאיבריו מתכנסת למספר רציונאלי, ולכן קבוצת המספרים הרציונאליים לא מהווה מרחב שלםלאיבר בתוכו.\end{definition}
\begin{example}$\mathbb{Q} $ לא שלם, כיוון שאם ניקח את$$ 3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,\cdots \to \pi\not\in\mathbb{Q} $$זוהי סדרה שמתכנסת ב- $\underlinemathbb{מסקנה R}$ ולכן, מהמשפט הקודם:} בכל מרחב שלם, סדרה מתכנסת אם ורק אם היא סדרת קושי.אבל היא סדרת קושי שמורכבת מאיברים רציונאליים ולא מתכנסת למספר רציונאלי, ולכן קבוצת המספרים הרציונאליים לא מהווה מרחב שלם.\end{example}
\underlinebegin{הוכחה:cor} מימין לשמאל זה נכון באופן כללי מהמשפט הקודם (בכל מרחב שלם, סדרה מתכנסת אם ורק אם היא תמיד סדרת קושי) ומשמאל לימין נובע מההגדרה של מרחב שלם, שדורש שכל סדרת קושי תתכנס למשהו בתוכו, ובפרט תתכנס.\end{cor}
\underlinebegin{הוכחה:thm} נניח $\mathbb{x_n\R}_{n=1}^\infty $ סדרת קושי, אזי לכל אפסילון חיובי $שלם\exists_N \forall_end{n,m>Nthm} |x_n-x_m|<\epsilon $ ואז $x_m-\epsilon<x_n<x_m+\epsilon $ וזה נכון לכל $n>N$ ולכן $x_m-\epsilon \leq l_{N+1} \leq L_{N+1} \leq x_m+\epsilon $ . מהעברת אגפים מקבלים ש- $ 0\leq L_{N+1}-l_{N+1}\leq 2\epsilon $ . אם ניקח לכן סדרת אפסילונים ששואפת ל-0 ובהתאם אליהם ניקח את ה- $N$ים המתאימים וממשפט הסנדוויץ' נקבל שהגבול העליון והתחתון שווים, ואז לפי משפט הסדרה מתכנסת אליהם.
\begin{cor}
הטור ההרמוני, שמוגדר להיות $ \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $ שווה לאינסוף.
\end{cor}
הסבר: הסדרה הזאת היא מונוטונית עולה ולכן מתכנסת ל- $\sup x_n$ אבל אם זה היה מספר ממשי היינו מקבלים סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת, בסתירה למה שהרגע הוכחנו. לכן בהכרח $\sup x_n = \infty $ ולשם הסדרה שואפת.