שינויים
/* שימושים */
לפי הלמה של צורן, יש ב-X קבוצה מקסימלית, שנסמן ב-B. היא בלתי-תלויה לינארית (משום שכל הקבוצות ב-X כאלה). נשאר להראות שהיא פורשת את המרחב V. יהי <math>\ v\in V</math>. אם הוקטור v אינו נפרש על-ידי B, אז הקבוצה <math>\ B \cup \{v\}</math> בלתי-תלויה לינארית, וזו סתירה למקסימליות של B. לכן כל וקטור נפרש על-ידי B, ומכאן ש-B בסיס.
=== יש על-מסנן לא ראשי ===
"מסנן" על קבוצה D הוא אוסף של תת-קבוצות, הסגור לחיתוך סופי ולהגדלה (אם A שייכת למסנן אז גם כל תת-קבוצה של D המכילה אותה שייכת למסנן). בנוסף דורשים שהמסנן לא יכלול את הקבוצה הריקה (משום שבמקרה כזה הוא צריך להיות שווה לקבוצת החזקה של D. "על-מסנן" הוא מסנן הכולל את אחד החלקים בכל פירוק של D כאיחוד של שתי קבוצות זרות. למשל, תהי a נקודה ב-X; אוסף תת-הקבוצות ש-a שייך אליהן הוא על-מסנן. על-מסנן כזה נקרא "על-מסנן ראשי", והוא נחשב לטריוויאלי. האם קיים על-מסנן שאינו ראשי?
'''למה'''. מסנן מהווה על-מסנן אם ורק אם הוא מקסימלי (כלומר, אינו מוכל באף מסנן גדול יותר).
'''משפט'''. כל מסנן מוכל בעל-מסנן המוגדר על אותה קבוצה.
'''הוכחה'''. יהי F המסנן הנתון. נסמן ב-X את משפחת המסננים המכילים את F (הקבוצה לא ריקה כי F הוא איבר שלה). האיחוד על פני שרשרת של מסננים הוא מסנן, ולכן X מקיימת את תנאי הלמה של צורן, ויש לה איבר מקסימלי.
'''מסקנה'''. על כל קבוצה אינסופית יש על-מסנן לא ראשי. אכן, אוסף הקבוצות שהמשלים שלהן סופי הוא מסנן (קרוי "מסנן פרשה", על-שם Maurice Frechet), ואינו יכול להיות מוכל בעל-מסנן ראשי.
=== בכל חוג יש אידאל מקסימלי ===
