שינויים
/* צירופים לינאריים - דוגמאות נוספות */
[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]
==בסיס ומימד==
תארנו את ההגדרה של תלות לינארית בתור היכולת לזרוק וקטורים מבלי להשפיע על המרחב הנפרש. כמובן שלפעולה זו יש סוף - מתישהו לא ניתן לזרוק אף וקטור מבלי לגרוע מהמרחב הנפרש. הקבוצה שנשארנו איתה במקרה זה תקרא '''בסיס'''.
הגדרה: יהי מרחב או תת מרחב W ותהי קבוצת וקטורים S. אזי S נקראת '''בסיס לW''' אם מתקיימות שתי התכונות הבאות:
*S פורשת את W. כלומר, spanS=W.
*S בת"ל. (כלומר, זרקנו ממנה את כל הוקטורים המיותרים.)
משפט: לכל מרחב וקטורי קיים בסיס, וכל הבסיסים לאותו המרחב הם מאותו גודל (כלומר, יש בהם אותו מספר ווקטורים).
הגדרה: יהיה מרחב וקטורי. ניקח לו בסיס כלשהו (מותר לפי המשפט), מספר האיברים בבסיס מוגדר להיות '''תרגיל.המימד'''של הבסיס. לא יכולה להיות סתירה בהגדרה מכיוון שלפי המשפט כל בסיס שנבחר ייתן בדיוק את אותו המספר.
לכן הקבוצה <math>\{0\}</math> '''פתרון:לעולם אינה מהווה בסיס'''כי היא ת"ל, בפרט היא לא בסיס למרחב האפס.
===תרגיל חשוב (חלק מ7.7)===יהיה V מרחב וקטורי, ויהי W תת מרחב. '''הוכח/הפרך''': אם dimV=dimW מתקיים שV=W בהכרח====פתרון====נתון שdimV=dimW. נניח בשלילה ש<math>V\begin{pmatrix}0 & 2 & 1 & | & x neq W</math> ונראה אם אנחנו מקבלים סתירה או האם מוצאים דוגמא נגדית. מכיוון שנתון <math>W\subseteq V</math> העובדה ש<math>V\1 & 1 & 1 & | & y neq W</math>גוררת בהכרח שקיים וקטור <math>v\in V</math> כך ש <math>v\1 & 3 & 2 & | & z notin W</math> (זה תרגיל לוגי פשוט). נסמן dimW=dimV=n וניקח בסיס כלשהו לW (אנחנו יודעים שקיים כזה) <math>S=\\1 & -1 & 0 & | & w \\\end{pmatrixv_1,...,v_n\}</math>.
===תרגיל 7.17===
יהא V מ"ו, ותהא B קבוצה המוכלת בV. הוכח שהתנאים הבאים שקולים:
*B בסיס עבור V
*וקטור האפס אינו שייך לB ולכל קבוצה <math>A\subseteq B</math> מתקיים <math>V=spanA\oplus span(B/A)</math>
====הוכחה====
ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני:
נניח B בסיס לV, ברור מכך שB בת"ל שהוא אינו מכיל את אפס. תהי A קבוצה המוכלת בB נסמן ב.ה.כ <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> ו <math>A=\{v_1,...,v_j\}</math>. יש להוכיח בעצם שמתקיים <math>V=span\{v_1,...,v_j\}\oplus span\{v_{j+1},...,v_n\} </math>. לצורך זה יש להוכיח שני דברים:
*<math>span\{v_1,...,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\}=\{0\}</math>
*<math>V=span\{v_1,...,v_j\}+ span\{v_{j+1},...,v_n\}</math>
(שימו לב שאם A ריקה, המשפט נובע בקלות ולכן לא נתייחס עוד למקרה קצה זה.)
נניח בשלילה שהתנאי הראשון אינו נכון, לכן קיים בחיתוך וקטור שונה מאפס. כלומר קיימים סקלרים כך ש<math>a_1v_1+...+a_jv_j=b_{j+1}v_{j+1}+...+b_nv_n</math>. מכיוון שמשני צידי המשוואה יש וקטור שונה מאפס, לפחות אחד מהסקלרים שונה מאפס. נעביר אגף ונקבל סתירה לכך שB בת"ל.
כעת, ברור שהמרחב כולו שווה לסכום הזה מכיוון שהמרחב מורכב מצירופים לינאריים של B והסכום הזה שווה בדיוק לכל הצירופים הלינאריים של B. (למעשה זה נובע מהתכונה הבאה: לכל שתי קבוצות A,B מתקיים: <math>spanA+spanB=span(A \cup B)</math>)
נוכיח שהתנאי השני גורר את הראשון:
מכיוון שזה נכון לכל קבוצה A המוכלת בB, בפרט זה נכון לקבוצה הריקה. לכן יוצא ש <math>V=span\phi\oplus span (B/\phi)=spanB</math> כלומר B פורש את V. נותר להראות שB בת"ל.
נניח בשלילה שB אינה בת"ל, לכן וקטור אחד ממנה u הוא צירוף לינארי של האחרים. נסמן בA את הנקודון שמכיל את u כלומר <math>A=\{u\}</math> ומכייון שבהכרח <math>u \neq 0</math> נקבל סתירה לתכונת הסכום הישר (חיתוך שכולל רק את ווקטור האפס)
==צירופים לינאריים - דוגמאות נוספות==
'''תרגיל 7.31'''