נקודת פיתול: הבדלים בין גרסאות בדף
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| שורה 2: | שורה 2: | ||
תהי <math>f</math> פונקציה ממשית הגזירה בנקודה <math>a</math> . | תהי <math>f</math> פונקציה ממשית הגזירה בנקודה <math>a</math> . | ||
<math>a</math> נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של <math>a</math> הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- <math>a</math>, ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו. | <math>a</math> נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של <math>a</math> הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- <math>a</math> , ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו. | ||
==מציאת נקודות פיתול== | ==מציאת נקודות פיתול== | ||
נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן [[סיווג נקודה חשודה|חשודות]] לפיתול, ויש [[סיווג נקודה חשודה|לסווג]] אותן. | נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן [[סיווג נקודה חשודה|חשודות]] לפיתול, ויש [[סיווג נקודה חשודה|לסווג]] אותן. | ||
;משפט: | |||
תהי <math>f</math> גזירה פעמיים בסביבת <math>a</math> כך שמצד אחד של <math>a</math> הנגזרת | תהי <math>f</math> גזירה פעמיים בסביבת <math>a</math> כך שמצד אחד של <math>a</math> הנגזרת השניה אי-שלילית ובצד השני אי-חיובית, אזי <math>a</math> נקודת פיתול של <math>f</math> . | ||
;הוכחה: | |||
לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] מתקיים: | לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] מתקיים: | ||
:<math>f(x)=f(a)+f'(a) | :<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math>. | ||
ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה <math>a</math> הנו | ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה <math>a</math> הנו | ||
:<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a) | :<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a)(x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math> | ||
כיון שהנקודה <math>c</math> נמצאת בין <math>x</math> ו- <math> | כיון שהנקודה <math>c</math> נמצאת בין <math>x</math> ו- <math>a</math> , קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן <math>a</math> הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> | ||
גרסה מ־12:43, 4 בנובמבר 2016
הגדרה
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה ממשית הגזירה בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] .
[math]\displaystyle{ a }[/math] נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של [math]\displaystyle{ a }[/math] הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- [math]\displaystyle{ a }[/math] , ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.
מציאת נקודות פיתול
נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן חשודות לפיתול, ויש לסווג אותן.
- משפט
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה פעמיים בסביבת [math]\displaystyle{ a }[/math] כך שמצד אחד של [math]\displaystyle{ a }[/math] הנגזרת השניה אי-שלילית ובצד השני אי-חיובית, אזי [math]\displaystyle{ a }[/math] נקודת פיתול של [math]\displaystyle{ f }[/math] .
- הוכחה
לפי טיילור מתקיים:
- [math]\displaystyle{ f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2 }[/math].
ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] הנו
- [math]\displaystyle{ f(x)-\Big(f(a)+f'(a)(x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2 }[/math]
כיון שהנקודה [math]\displaystyle{ c }[/math] נמצאת בין [math]\displaystyle{ x }[/math] ו- [math]\displaystyle{ a }[/math] , קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן [math]\displaystyle{ a }[/math] הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]