שינויים

**גוף בעל מסה <math>m</math> נמצא בנפילה חופשית, מצד אחד הוא מושפע מכוח הכבידה שנחשב קבוע <math>m\cdot g</math> ומצד שני כוח התנגדות האוויר שנניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה בריבוע <math>b\cdot v^2</math>.**לפי החוק השני של ניוטון <math>m\cdot a = gm -b\cdot v^2</math>.**כלומר <math>v'=g-\frac{b}{m}v^2</math>**נבצע הפרדת משתנים <math>\frac{1}{g-\frac{b}{m}v^2}dv=dt</math>**נבצע אינטגרציה לשני הצדדיםפירוק לשברים חלקיים:***<math>\frac{1}{g-\frac{b}{m}v^2}=\frac{1}{(\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v)(\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v)}=\frac{1}{2\sqrt{g}}\left(\frac{1}{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}+\frac{1}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}\right)</math>*ולכן <math>\int \frac{1}{g-\frac{b}{m}v^2}dv=\frac{\sqrt{b}}{2\sqrt{g\cdot m}}\ln\left|\frac{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}\right|</math>*מצד שני <math>\int dt=t+c</math>*לכן <math>\frac{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}=Ce^{2\sqrt{\frac{g\cdot m}{b}}t}</math>*נסדר קצת <math>v=\sqrt{\frac{g\cdot m}{b}}\cdot \left(1-\frac{2}{Ce^{2\sqrt{\frac{g\cdot m}{b}}t}}\right)</math>*נשים לב שכאשר <math>t\to\infty</math> אנו מתכנסים ל[https://en.wikipedia.org/wiki/Terminal_velocity מהירות הסופית] <math>\sqrt{\frac{g\cdot m}{b}}</math>. *אם זו הייתה המהירות ההתחלתית היינו מקבלים פונקצית מהירות קבועה.