שינויים

הוכיחו התכנסות בתנאי של <math>\int\limits_0^\infty1\frac{\cos(1/x)}x\mathrm dx</math>.

מצאנו כבר כי <math>\int\limits_0^1\frac{\cos(1/x)}x\mathrm dx</math> מתכנס. נותר לבדוק התכנסות בקטע <math>[1,\infty)</math>. תחילה נבדוק התכנסות בהחלט:ברור כי <math>\left|\cos\left(\frac1x\right)\right|\le1</math>. אם רוצים להשתמש במבחן ההשוואה צריך ביטוי קטן ממנו להראות התבדרות. למשל <math>\cos^2\left(\frac1x\right)\le\left|\cos\left(\frac1x\right)\right|</math> ואז <math>\frac{\cos^2(1/x)}x\le\left|\frac{\cos(1/x)}x\right|</math>. צד שמאל מתבדר (מכיוון ש-<math>\lim_{x\to0^+}\frac{\cos^2(1/x)/x}{x^2}=0</math> ומכיוון ש-<math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^2}</math> מתבדר גם <math>\int\limits_0^1\frac{\cos^2(1/x)}x\mathrm dx</math> מתבדר) ולכן אין התכנסות בהחלט.

ברור כי <math>\left|\cos\left(\frac1x\right)\right|\le1</math>. אם רוצים להשתמש במבחן ההשוואה צריך ביטוי קטן ממנו להראות התבדרות. למשל <math>\cos^2\left(\frac1x\right)\le\left|\cos\left(\frac1x\right)\right|</math> ואז <math>\frac{\cos^2(1/x)}x\le\left|\frac{\cos(1/x)}x\right|</math>. נותר להוכיח כי <math>\int\limits_0^1\frac{\cos^2(1/x)}x\mathrm dx</math> מתבדר:נמשיך בתרגול הבא* ''דרך א:'' נפעיל את מבחן ההשוואה הגבולי: <math>\lim_{x\to0^+}\frac{\cos^2(1/x)/x}{x^2}=\infty</math>. <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^2}</math> מתבדר ולכן <math>\int\limits_0^1\frac{\cos^2(1/x)}x\mathrm dx</math> מתבדר. {{משל}}<span id="continue"><!--נא לא למחוק span זה--></span>{{הערה|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - תרגול/8.5.11|תרגול שאחריו]]:}}* ''דרך ב:'' מתקיים <math>\int\limits_0^1\frac{\cos\left(\frac1x\right)}x\mathrm dx=\frac12\underbrace{\int\limits_0^1\frac{\cos\left(\frac2x\right)}x\mathrm dx}_I+\frac12\underbrace{\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}x}_{II}</math>. ברור שאינטגרל II מתבדר, ולכן אם אינטגרל I מתכנס אז סיימנו את ההוכחה: נציב <math>y=\frac2x</math> ואז <math>\mathrm dx=\frac{-2}{y^2}\mathrm dy</math> נקבל <math>\int\limits_\infty^2 \frac{\cos(y)}{2/y}\frac{-2\mathrm dy}{y^2}=\int\limits_2^\infty \frac{\cos(y)}y\mathrm dy</math> שמתכנס לפי דיריכלה.{{משל}}