הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/8.5.11"
(←דוגמה 4) |
|||
שורה 49: | שורה 49: | ||
הראה כי <math>f_n(x)=x^n</math> לא מתכנסת במ"ש ב-<math>(0,1)</math>. | הראה כי <math>f_n(x)=x^n</math> לא מתכנסת במ"ש ב-<math>(0,1)</math>. | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | מצאנו בדוגמה 1 ש-<math>f(x)=0</math>. נשים לב כי <math>\forall n\in\mathbb N:\ \lim_{x\to1}x^n=1</math> ז"א <math>\forall n\in\mathbb N:\ \exists x_0:\ \frac12<x_0^n<\frac32</math> (לפי הגדרת הגבול). לכן <math>\exists\varepsilon>0:\ \forall n_0\in\mathbb N:\ \exists n>n_0:\ \exists x_0:\ |f_n(x_0)-f(x_0)|=|x_0^n-0|>\frac12>\varepsilon</math> ולכן ההתכנסות לא במ"ש. {{משל}} | + | מצאנו בדוגמה 1 ש-<math>f(x)=0</math>. נשים לב כי <math>\forall n\in\mathbb N:\ \lim_{x\to1}x^n=1</math> ז"א <math>\forall n\in\mathbb N:\ \exists x_0\in(0,1):\ \frac12<x_0^n<\frac32</math> (לפי הגדרת הגבול). לכן <math>\exists\varepsilon>0:\ \forall n_0\in\mathbb N:\ \exists n>n_0:\ \exists x_0\in(0,1):\ |f_n(x_0)-f(x_0)|=|x_0^n-0|>\frac12>\varepsilon</math> ולכן ההתכנסות לא במ"ש. {{משל}} |
גרסה מ־16:48, 21 במאי 2011
את דוגמה 6 לא סיימנו בתרגול הקודם ולכן השלמנו אותה ב-8.5.11. חלק זה מופיע בסיכום התרגול הקודם ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
אינטגרל
דוגמה 1
קבעו האם
מתכנס או מתבדר.
פתרון
נחלק לשני אינטגרלים . עבור
מתקיים
, לכן
. ברור ש-
מתכנס ולכן, לפי מבחן ההשוואה,
מתכנס.
עבור מתקיים
. נל
ולכן גם כן מתכנס לפי מבחן ההשוואה. לסיכום האינטגרל מתכנס.
נושא שני:
התכנסות של פונקציות
לדוגמה נתבונן בסדרת הפונקציות . קל לראות שאת סדרת הפונקציות ניתן לרשום כ-
. לדגמה, נבחר
. קל לראות ש-
, ולכן
היא פונקצית הגבול.
הגדרות
- סדרה
של פונקציות היא התאמה שבה לכל n טבעי מותאמת פונקציה
.
- אם לכל
בקטע הסדרה
מתכנסת, אז נאמר כי סדרת הפונקציות "מתכנסת נקודתית" ונסמן
.
דוגמה 1
קבעו התכנסות של ב-
.
פתרון
נחלק לשני מקרים:
- אם
אז
.
- אם
אז
.
דוגמה 2
בדקו התכנסות של ב-
.
פתרון
נחלק למקרים:
הגדרה: תהינה סדרת פונקציות בקטע I. נאמר כי
מתכנסת במ"ש אם לכל
קיים
כך שלכל
ולכל
מתקיים
.
דוגמה 3
נתונה . קבע האם f מתכנסת נקודתית/במ"ש ב-
.
פתרון
במקרה שלנו קל לראות ש- מתכנסת נקודתית ל-
כי
. מסקנה:
.
כדי לבדוק התכנסות במ"ש נשתמש בהגדרה. צריך להתקיים שלכל קיים
כך שלכל
ולכל
מתקיים
. נציב:
. לכן מספיק לבחור
ונקבל שיש גם התכנסות במ"ש.
דוגמה 4
הראה כי לא מתכנסת במ"ש ב-
.
פתרון
מצאנו בדוגמה 1 ש-. נשים לב כי
ז"א
(לפי הגדרת הגבול). לכן
ולכן ההתכנסות לא במ"ש.